Lösningsförslag. Fourierkoefficienterna i Fourierserien

\frac {a _ {0}}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left(a _ {n} \cos (n x) + b _ {n} \sin (n x)\right)

för $f(x)$ ges av

a _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \cos (n x) d x, \quad b _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \sin (n x) d x.

(a)

\begin{array}{l} a _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \cos (n x) d x = \frac {1}{\pi} \int_ {0} ^ {\pi} x ^ {2} \cos (n x) d x \\ = \left\{\text {Integralformel} (96) \right\} = \frac {1}{\pi} \left[ \frac {2 x \cos (n x)}{n ^ {2}} + \frac {n ^ {2} x ^ {2} - 2}{n ^ {3}} \sin (n x) \right] _ {0} ^ {\pi} \\ = \frac {1}{\pi} \left(\frac {2 \pi \cos (n \pi)}{n ^ {2}} + \frac {n ^ {2} \pi^ {2} - 2}{n ^ {3}} \sin (n \pi)\right) - \left(\frac {2 \cdot 0}{n ^ {2}} + \frac {0 - 2}{n ^ {3}} \sin 0\right) \\ = \frac {1}{\pi} \left(\frac {2 \pi (- 1) ^ {n}}{n ^ {2}} + 0\right) - 0 = \frac {2 (- 1) ^ {n}}{n ^ {2}}. \\ \end{array}

Då vi delar med $n$ är denna beräkning giltig för $n \geq 1$ , men inte för $n = 0$ . Vi beräknar

a _ {0} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) d x = \frac {1}{\pi} \int_ {0} ^ {\pi} x ^ {2} d x = \frac {1}{\pi} \left[ \frac {x ^ {3}}{3} \right] _ {0} ^ {\pi} = \frac {1}{\pi} \frac {\pi^ {3}}{3} = \frac {\pi^ {2}}{3}.

För $n \geq 1$ har vi

\begin{array}{l} b _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \sin (n x) d x = \frac {1}{\pi} \int_ {0} ^ {\pi} x ^ {2} \sin (n x) d x \\ = \left\{\text {Integralformel} (102) \right\} = \frac {1}{\pi} \left[ \frac {2 - n ^ {2} x ^ {2}}{n ^ {3}} \cos (n x) + \frac {2 x \sin (n x)}{n ^ {2}} \right] _ {0} ^ {\pi} \\ = \frac {1}{\pi} \left(\frac {2 - n ^ {2} \pi^ {2}}{n ^ {3}} \cos (n \pi) + \frac {2 \pi \sin (n \pi)}{n ^ {2}}\right) - \frac {1}{\pi} \left(\frac {2 - 0}{n ^ {3}} \cos 0 + \frac {2 \cdot 0}{n ^ {2}}\right) \\ = \frac {1}{\pi} \left(\frac {2 - n ^ {2} \pi^ {2}}{n ^ {3}} (- 1) ^ {n} + 0\right) - \frac {1}{\pi} \left(\frac {2}{n ^ {3}} 1 + 0\right) \\ = \frac {2}{\pi n ^ {3}} ((- 1) ^ {n} - 1) - \frac {\pi}{n} (- 1) ^ {n}. \\ \end{array}

I punkten $x$ konvergerar Fourierserien mot $\frac{1}{2} (f(x+) + f(x-))$ där $f(x+)/f(x-)$ är höger-/vänstergränsvärdet i punkten. För funktionen $f_{1}(x)$ betyder det att Fourierserien konvergerar mot 0 på intervallet $-\pi < x < 0$ , mot $x^{2}$ på intervallet $0 \leq x < \pi$ , och mot $\frac{1}{2} (0 + \pi^{2}) = \pi^{2}/2$ i punkten $x = \pi$ .