Lösningsförslag. Om vi delar med koefficienten för högsta derivatan får vi ekvationen

y'' + P(x)y' + Q(x)y = y'' + \frac{2x}{x^2 + 1}y' + \frac{-2}{x^2 + 1}y = 0,

som har regulära koefficienter $P(x), Q(x)$ i en omgivning av $x = 0$ . Punkten $x = 0$ är alltså en regulär punkt och vi gör ansatsen

y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.

Då är

y' = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^{n-1} \quad \text{och} \quad y'' = \sum_{n=2}^{\infty} a_n n(n-1) x^{n-2}.

Insatt i ekvationen ger detta

\begin{aligned} 0 &= (x^2 + 1)y'' + 2xy' - 2y \\ &= (x^2 + 1) \sum_{n=2}^{\infty} a_n n(n-1) x^{n-2} + 2x \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^{n-1} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ &= \sum_{n=2}^{\infty} a_n n(n-1) x^n + \sum_{n=2}^{\infty} a_n n(n-1) x^{n-2} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ &= \left\{ \text{byt till } k = n-2 \text{ i andra serien, } k = n \text{ i övriga} \right\} \\ &= \sum_{k=2}^{\infty} a_k k(k-1) x^k + \sum_{k=0}^{\infty} a_{k+2}(k+2)(k+1) x^k + 2 \sum_{k=1}^{\infty} a_k k x^k - 2 \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \\ &= 2a_2 + 6a_3x + 2a_1x - 2a_0 - 2a_1x \\ &\quad + \sum_{k=2}^{\infty} \left( a_k k(k-1) + a_{k+2}(k+2)(k+1) + 2a_k k - 2a_k \right) x^k \\ &= 2(a_2 - a_0) + 6a_3x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( (k+2)(k+1) a_{k+2} + (k^2 + k - 2) a_k \right) x^k \end{aligned}

För att vi ska få en lösning måste koefficienterna $a_n$ alltså uppfylla

a_2 - a_0 = 0, \quad a_3 = 0

och

(k + 2)(k + 1) a_{k+2} + (k^2 + k - 2) a_k, \quad \text{för } k \geq 2.

Vi har $k^2 + k - 2 = (k + 2)(k - 1)$ och eftersom $(k + 2)(k + 1) \neq 0$ då $k \geq 2$ ser vi att

a_{k+2} = -\frac{k - 1}{k + 1} a_k, \quad \text{för } k \geq 2.

För att hitta två linjärt oberoende lösningar väljer vi två olika initialvillkor för $a_0, a_1$ .

a_2 = a_0 = 1, \quad a_4 = -\frac{2 - 1}{2 + 1} a_2 = -\frac{1}{3}, a_6 = -\frac{4 - 1}{4 + 1} a_4 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}, \quad a_8 = -\frac{6 - 1}{6 + 1} a_6 = -\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{7}, \quad \ldots

Termerna med udda $n$ uppfyller

a_1 = a_3 = 0

och därefter är alla

a_{2k+1} = 0, k \geq 2

. Motsvarande lösning

y_0(x)

uppfyller

y_0(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 1 + x^2 - \frac{1}{3} x^4 + \frac{1}{5} x^6 - \frac{1}{7} x^8 + O(x^9).