Lösningsförslag. Låt $C$ vara den slutna kurva i komplexa planet som består av reella axeln från $-R$ till $R$ tillsammans med en halvcirkel $\Gamma$ med radien $R$ i övre halvplanet orienterad moturs. Då säger residysatsen att

\begin{array}{l} \int_{-R}^{R} \frac{1}{x^6 + 1} \, dx + \int_{\Gamma} \frac{1}{z^6 + 1} \, dz = \int_{C} \frac{1}{z^6 + 1} \, dz \\ = 2\pi i \left\{ \text{summan av residyer för } \frac{1}{z^6 + 1} \text{ innanför } C \right\}. \end{array}

Den första integralen går mot vår sökta integral då $R \to \infty$ . För den andra integralen har vi $R^6 = |z^6| \leq |z^6 + 1| + |1| = |z^6 + 1| + 1$ så $R^6 - 1 \leq |z^6 + 1|$ och

\left| \int_{\Gamma} \frac{1}{z^6 + 1} \, dz \right| \leq \frac{1}{R^6 - 1} \cdot \left\{ \text{Längden av } \Gamma \right\} \to 0 \quad \text{där } R \to \infty.

När vi låter $R \to \infty$ får vi alltså

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^6 + 1} \, dx = 2\pi i \left\{ \text{summan av residyer för } \frac{1}{z^6 + 1} \text{ i övre halvplanet} \right\}.

Funktionen $\frac{1}{z^6 + 1}$ har poler i de punkter där $z^6 = -1$ , det vill säga i punkterna

e^{\pi i/6}, e^{3\pi i/6} = i, e^{5\pi i/6}, e^{7\pi i/6}, e^{9\pi i/6} = -i, e^{11\pi i/6}.

Av dessa ligger de tre första $z_1 = e^{\pi i/6}, z_2 = i, z_3 = e^{5\pi i/6}$ i det övre halvplanet. Vi beräknar nu residyerna i dessa tre poler. Då $z_i$ är enkla poler ges residyerna av

\operatorname{Res} \left( \frac{1}{z^6 + 1}, z_i \right) = \lim_{z \to z_i} (z - z_i) \frac{1}{z^6 + 1},

vilket enligt L'Hopitals regel är lika med

\operatorname{Res} \left( \frac{1}{z^6 + 1}, z_i \right) = \lim_{z \to z_i} \frac{(z - z_i)'}{(z^6 + 1)'} = \lim_{z \to z_i} \frac{1}{6z^5} = \frac{1}{6}z_i^{-5}.

Vi får

\begin{array}{l} \operatorname{Res} \left( \frac{1}{z^6 + 1}, z_1 \right) = \frac{1}{6} e^{-5\pi i/6} = \frac{1}{6} e^{-\pi i} e^{\pi i/6} = -\frac{1}{6} e^{\pi i/6}, \\ \operatorname{Res} \left( \frac{1}{z^6 + 1}, z_2 \right) = \frac{1}{6} i^{-5} = -\frac{1}{6} i, \\ \operatorname{Res} \left( \frac{1}{z^6 + 1}, z_3 \right) = \frac{1}{6} e^{-25\pi i/6} = \frac{1}{6} e^{-\pi i/6} \end{array}

och

\begin{array}{l} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^6 + 1} \, dx = 2\pi i \sum_{i=1}^{3} \operatorname{Res} \left( \frac{1}{z^6 + 1}, z_i \right) = 2\pi i \frac{1}{6} \left( -e^{\pi i/6} - i + e^{-\pi i/6} \right) \\ = \frac{\pi i}{3} \left( -i - \left( e^{\pi i/6} - e^{-\pi i/6} \right) \right) = \frac{\pi i}{3} \left( -i - 2i \sin(\pi/6) \right) \\ = \frac{\pi}{3} \left( 1 + 2 \sin(\pi/6) \right) = \frac{\pi}{3} \left( 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}. \end{array}