(Detta är Bessels ekvation av ordning 1.) Eftersom koefficienten $x^2$ framför högsta derivatan $y''$ försvinner vid $x = 0$ är punkten $x = 0$ en singular punkt. För att undersöka om det är en reguljär singular punkt skriver vi ekvationen som

x ^ {2} y ^ {\prime \prime} + x P (x) y ^ {\prime} + Q (x) y = x ^ {2} y ^ {\prime \prime} + x y ^ {\prime} + (x ^ {2} - 1) y = 0.

Eftersom $P(x) = 1$ och $Q(x) = x^{2} - 1$ båda är analytiska vid $x = 0$ är det en reguljär singular punkt.

För att hitta serielösningar till ekvationen gör vi ansatsen

y = x ^ {m} \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {n} = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {m + n},

där $m$ är ett reellt tal, och vi antar att den första koefficienten $a_0 \neq 0$ . Då är

y ^ {\prime} = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} (m + n) x ^ {m + n - 1} \quad \mathrm {och} \quad y ^ {\prime \prime} = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} (m + n) (m + n - 1) x ^ {m + n - 2}.

Insatt i ekvationen ger detta

\begin{array}{l} 0 = x ^ {2} y ^ {\prime \prime} + x y ^ {\prime} + (x ^ {2} - 1) y \\ = x ^ {2} \left(\sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} (m + n) (m + n - 1) x ^ {m + n - 2}\right) + x \left(\sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} (m + n) x ^ {m + n - 1}\right) \\ + x ^ {2} \left(\sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {m + n}\right) - \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {m + n} \\ = \left(\sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} (m + n) (m + n - 1) x ^ {m + n}\right) + \left(\sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} (m + n) x ^ {m + n}\right) \\ + \left(\sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {m + n + 2}\right) - \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {m + n} \\ = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} \left((m + n) (m + n - 1) + (m + n) - 1\right) a _ {n} x ^ {m + n} + \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {m + n + 2} \\ = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} \left((m + n) ^ {2} - 1\right) a _ {n} x ^ {m + n} + \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {m + n + 2} \\ = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} \left((m + k) ^ {2} - 1\right) a _ {k} x ^ {m + k} + \sum_ {k = 2} ^ {\infty} a _ {k - 2} x ^ {m + k} \\ = \left(m ^ {2} - 1\right) a _ {0} x ^ {m} + \left((m + 1) ^ {2} - 1\right) a _ {1} x ^ {m + 1} + \sum_ {k = 2} ^ {\infty} \left[ \left((m + k) ^ {2} - 1\right) a _ {k} + a _ {k - 2} \right] x ^ {m + k}. \\ \end{array}

Eftersom $a_0 \neq 0$ så måste $m$ uppfylla indicialekvationen

0 = m ^ {2} - 1.

Vilket ger två lösningar

m _ {1} = 1, \qquad m _ {2} = - 1.

Koefficienterna $a_{n}$ måste sedan uppfylla

\left((m + 1) ^ {2} - 1\right) a _ {1} = 0 \quad \text{och} \quad \left((m + k) ^ {2} - 1\right) a _ {k} + a _ {k - 2} = 0, \quad k \geq 2.

Differensen $m_{1} - m_{2} = 2$ är ett heltal. Teorin för seriellösningar för ekvationer med reguljärt singulära punkter säger oss att det alltid finns en lösning med den större roten $m_{1}$ till indicialekvationen.

Vi räknar vidare med $m = m_{1} = 1$ och får

\underbrace {\left((1 + 1) ^ {2} - 1\right)} _ {= 3} a _ {1} = 0 \quad \text{och} \quad \underbrace {\left((1 + k) ^ {2} - 1\right)} _ {= k (k + 2)} a _ {k} + a _ {k - 2} = 0, \quad k \geq 2,

eller

a _ {1} = 0 \quad \text{och} \quad a _ {k} = - \frac {1}{k (k + 2)} a _ {k - 2}, \quad k \geq 2.

Observera att vi kan dela med $k(k + 2)$ då $k \geq 2$ . Med $a_0 = 1$ får vi

a _ {2} = - \frac {1}{2 (2 + 2)} a _ {0} = - \frac {1}{8}, \quad a _ {4} = - \frac {1}{4 (4 + 2)} a _ {2} = \frac {1}{24} \cdot \frac {1}{8} = \frac {1}{192}, \quad \dots

Eftersom $a_1 = 0$ har vi

a _ {3} = - \frac {1}{3 (3 + 2)} a _ {1} = 0, \quad a _ {5} = - \frac {1}{5 (5 + 2)} a _ {3} = 0, \quad \dots

Vi har alltså hittat en lösning $y_{1}(x)$ med

y _ {1} (x) = x ^ {m} \sum_ {n = 0} ^ {\infty} a _ {n} x ^ {n} = x \left(1 - \frac {1}{8} x ^ {2} + \frac {1}{192} x ^ {4} + O \left(x ^ {6}\right)\right).

Vi undersöker nu om den mindre roten $m_{2} = -1$ till indicialekvationen kan ge en lösning. I detta fall ska koefficienterna $a_{n}$ uppfylla

\underbrace {\left((- 1 + 1) ^ {2} - 1\right)} _ {= - 1} a _ {1} = 0 \quad \text{och} \quad \underbrace {\left((- 1 + k) ^ {2} - 1\right)} _ {= k (k - 2)} a _ {k} + a _ {k - 2} = 0, \quad k \geq 2,

eller

a _ {1} = 0 \quad \text{och} \quad k (k - 2) a _ {k} = - a _ {k - 2}, \quad k \geq 2.

För $k = 2$ måste alltså

0 = 2 \cdot 0 \cdot a _ {2} = - a _ {0} \neq 0,

vilket är omöjligt. Denna ansats med en Frobeniusserie med $m_{2} = -1$ kan alltså inte ge en andra linjärt oberoende lösning till differentialekvationen.