(b) En bas för $\bigwedge^2\mathbb{C}^3$ ges av $\{\mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_3,\mathbf{e}_2\wedge \mathbf{e}_3\}$ . Om $\mathbf{f}_j = \sum_{i = 1}^{3}p_{ij}\mathbf{e}_i$ får vi

\begin{array}{l} \mathbf {f} _ {1} \wedge \mathbf {f} _ {2} = \left(p _ {1 1} \mathbf {e} _ {1} + p _ {2 1} \mathbf {e} _ {2} + p _ {3 1} \mathbf {e} _ {3}\right) \wedge \left(p _ {1 2} \mathbf {e} _ {1} + p _ {2 2} \mathbf {e} _ {2} + p _ {3 2} \mathbf {e} _ {3}\right) \\ = \left(p _ {1 1} p _ {2 2} - p _ {2 1} p _ {1 2}\right) \mathbf {e} _ {1} \wedge \mathbf {e} _ {2} + \left(p _ {1 1} p _ {3 2} - p _ {3 1} p _ {1 2}\right) \mathbf {e} _ {1} \wedge \mathbf {e} _ {3} + \left(p _ {2 1} p _ {3 2} - p _ {3 1} p _ {2 2}\right) \mathbf {e} _ {2} \wedge \mathbf {e} _ {3} \end{array} \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {1} \wedge \mathbf {f} _ {3} = \left(p _ {1 1} \mathbf {e} _ {1} + p _ {2 1} \mathbf {e} _ {2} + p _ {3 1} \mathbf {e} _ {3}\right) \wedge \left(p _ {1 3} \mathbf {e} _ {1} + p _ {2 3} \mathbf {e} _ {2} + p _ {3 3} \mathbf {e} _ {3}\right) \\ = \left(p _ {1 1} p _ {2 3} - p _ {2 1} p _ {1 3}\right) \mathbf {e} _ {1} \wedge \mathbf {e} _ {2} + \left(p _ {1 1} p _ {3 3} - p _ {3 1} p _ {1 3}\right) \mathbf {e} _ {1} \wedge \mathbf {e} _ {3} + \left(p _ {2 1} p _ {3 3} - p _ {3 1} p _ {2 3}\right) \mathbf {e} _ {2} \wedge \mathbf {e} _ {3} \end{array} \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {2} \wedge \mathbf {f} _ {3} = \left(p _ {1 2} \mathbf {e} _ {1} + p _ {2 2} \mathbf {e} _ {2} + p _ {3 2} \mathbf {e} _ {3}\right) \wedge \left(p _ {1 3} \mathbf {e} _ {1} + p _ {2 3} \mathbf {e} _ {2} + p _ {3 3} \mathbf {e} _ {3}\right) \\ = \left(p _ {1 2} p _ {2 3} - p _ {2 2} p _ {1 3}\right) \mathbf {e} _ {1} \wedge \mathbf {e} _ {2} + \left(p _ {1 2} p _ {3 3} - p _ {3 2} p _ {1 3}\right) \mathbf {e} _ {1} \wedge \mathbf {e} _ {3} + \left(p _ {2 2} p _ {3 3} - p _ {3 2} p _ {2 3}\right) \mathbf {e} _ {2} \wedge \mathbf {e} _ {3} \end{array}

Alltså ges basbytesmatrisen av

\left[ \begin{array}{l l l} p _ {1 1} p _ {2 2} - p _ {2 1} p _ {1 2} & p _ {1 1} p _ {2 3} - p _ {2 1} p _ {1 3} & p _ {1 2} p _ {2 3} - p _ {2 2} p _ {1 3} \\ p _ {1 1} p _ {3 2} - p _ {3 1} p _ {1 2} & p _ {1 1} p _ {3 3} - p _ {3 1} p _ {1 3} & p _ {1 2} p _ {3 3} - p _ {3 2} p _ {1 3} \\ p _ {2 1} p _ {3 2} - p _ {3 1} p _ {2 2} & p _ {2 1} p _ {3 3} - p _ {3 1} p _ {2 3} & p _ {2 2} p _ {3 3} - p _ {3 2} p _ {2 3} \end{array} \right]