Eftersom $B^{\dagger}B$ och $A^{\dagger}A$ är symmetriska matriser som kommunicerar så finns en gemensam egenbas $\mathcal{B}$ för $\mathbb{R}^6$ . På samma sätt har $BB^{\dagger}$ och $AA^{\dagger}$ en gemensam egenbas $\mathcal{C}$ för $\mathbb{R}^4$ . Om vi använder dessa för singularvärdesuppdelning får vi

\Sigma_{A} = \left[ \begin{array}{cccccc} \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \end{array} \right] \quad \text{och} \quad \Sigma_{B} = \left[ \begin{array}{cccccc} \sqrt{24} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

Vi har att $\Sigma_{A^{+}} = \Sigma_{A}^{+}$ och

\Sigma_{A}^{+} = \left[ \begin{array}{cccc} \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cccc} \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cccc} \frac{\sqrt{6}}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = \frac{1}{2} \Sigma_{A}^{\dagger} - \frac{1}{6} \Sigma_{B}^{\dagger}.

Ett alternativ är att använda en sats ur materialet om singularvärdesuppdelning och pseudoinverser som säger att $A^{+}$ är den unika lösningen till de fyra ekvationerna

AXA = A, \quad XAX = X, \quad (XA)^{\dagger} = XA, \quad \text{och} \quad (AX)^{\dagger} = AX

Vi kan beräkna alla dessa produkter och se att den givna matrisen uppfyller dessa.

Ett tredje alternativ är att beräkna singularvärdesuppdelningen av $A$ , men det kräver en användning av Gram-Schmidt för att hitta en ortogonal bas för egenrummen av dimension 3 till $AA^{\dagger}$ och $A^{\dagger}A$ .