Egenvärdena till

B_{\theta} = \begin{bmatrix} i \sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & i \sin \theta \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3i & 4 \\ 4 & 3i \end{bmatrix}

är $\lambda_1 = \cos \theta + i \sin \theta$ och $\lambda_2 = -\cos \theta + i \sin \theta$ och motsvarande normerade egenvektorer är

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{och} \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}.

Den unitära matrisen

Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

ger att

Q^T B_{\theta} Q = \begin{bmatrix} \cos \theta + i \sin \theta & 0 \\ 0 & -\cos \theta + i \sin \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{i\pi - i\theta} \end{bmatrix} = \exp\left(i \begin{bmatrix} \theta & 0 \\ 0 & \pi - \theta \end{bmatrix}\right).

Alltså får vi att

B_{\theta} = Q \exp\left(i \begin{bmatrix} \theta & 0 \\ 0 & \pi - \theta \end{bmatrix}\right) Q^T = \exp\left(i Q \begin{bmatrix} \theta & 0 \\ 0 & \pi - \theta \end{bmatrix} Q^T\right)

och

\begin{aligned} A_{\theta} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta & 0 \\ 0 & \pi - \theta \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \theta & \pi - \theta \\ \theta & \theta - \pi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \pi & 2\theta - \pi \\ 2\theta - \pi & \pi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \pi/2 & \theta - \pi/2 \\ \theta - \pi/2 & \pi/2 \end{bmatrix} \end{aligned}