Lösningsförslag. Vi har att $L(1) = i$ , $L(x) = 1$ och $L(x^2) = 2x$ . Detta ger matrisen

A := [L] = \begin{bmatrix} i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.

För att hitta singulärvärdena och de högra singulärvektorerna betraktar vi

A^\dagger A = \begin{bmatrix} -i & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -i & 0 \\ i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.

Denna matris har karakteristiskt polynom $(x - 4)\big((x - 1)^2 - 1\big) = (x - 4)x(x - 2)$ . Alltså är egenvärdena $0, 2, 4$ , dvs singulärvärdena är $0, \sqrt{2}, 2$ . Motsvarande egenvektorer är höger singulärvektorer. Vi beräknar:

\ker(A^\dagger A) = \ker A = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -i \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \ker(A^\dagger A - 2I) = \ker \begin{bmatrix} -1 & -i & 0 \\ i & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \ker(A^\dagger A - 4I) = \ker \begin{bmatrix} -3 & -i & 0 \\ i & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.

Efter normalisering ger detta de tre höger singulära vektorerna:

\mathbf{v}_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \\ 0 \end{bmatrix} \qquad \mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{bmatrix} \qquad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

Eller uttryckt i det ursprungliga vektorrummet:

$$
p_0(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-ix + 1) \quad \text{(singulärvärde 0)}
p_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(ix + 1) \quad \text{(singulärvärde $\sqrt{2}$ )}
p_2(x) = x^2 \quad \text{(singulärvärde 2)}.
$$

Vi får sedan motsvarande vänster singulära vektorer via

q_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}L(p_1) = \frac{1}{2}(i + i) = i q_2(x) = \frac{1}{2}L(p_2) = \frac{1}{2}(2x) = x.

Notera att $\{p_0, p_1, p_2\}$ och $\{q_1, q_2\}$ verkligen är ON-baser.

Svar. Singulär värdena är $\sqrt{2}$ , 2 och vi har även att $\dim \ker(L) = 1$ (singulär värde 0) medan $\dim \ker(L^{\dagger}) = 0$ . En bas av högersingulära vektorer är $p_0(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-ix + 1)$ (kärnan till $L$ ), $p_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(ix + 1)$ (singulär värde $\sqrt{2}$ ) och $p_2(x) = x^2$ (singulär värde 2). En motsvarande bas av vänstersingulära vektorer är $q_1(x) = i$ (singulär värde $\sqrt{2}$ ) och $q_2(x) = x$ (singulär värde 2).