Lösningsförslag. Om $\omega = \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m$ så är $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_m$ linjärt oberoende eftersom $\omega \neq \mathbf{0}$ . Eftersom $\omega \wedge \mathbf{x}_i = \mathbf{0}$ för $1 \leq i \leq m$ så har vi att $\operatorname{Span}\{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_m\} \subseteq \ker L$ och alltså $\dim(\ker L) \geq m$ . Utökar vi till en bas $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ för $V$ så ser vi att $L(\mathbf{x}_j) = \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m \wedge \mathbf{x}_j$ för $m + 1 \leq j \leq n$ är en del av basen för $\bigwedge^{m+1} V$ och alltså linjärt oberoende. Alltså är $\operatorname{rk}(L) \geq n - m$ och det följer av dimensionssatsen att $\dim(\ker L) = n$ .

Omvänt, om $\dim(\ker L) = m$ så välj en bas $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_m$ för kärnan. Utöka till en bas $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ för $V$ . En bas för $\bigwedge^m V$ är $\{\mathbf{x}_S\}_S$ där $S = \{s_1, s_2, \ldots, s_m\} \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$ är en delmängd av storlek $m$ och $\mathbf{x}_S = \mathbf{x}_{s_1} \wedge \mathbf{x}_{s_2} \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_{s_m}$ där $s_1 < s_2 < \dots < s_m$ . Vi kan alltså skriva $\omega = \sum_S a_S \mathbf{x}_S$ för några skalärer $a_S$ .

Låt $1 \leq i \leq n$ . Då är $\mathbf{x}_S \wedge \mathbf{x}_i = \mathbf{0}$ om $i \in S$ och $\mathbf{x}_S \wedge \mathbf{x}_i = \pm \mathbf{x}_{S \cup \{i\}}$ om $i \notin S$ (där tecknet beror på antalet byten som behöver göras för att ordna $\{s_1, s_2, \ldots, s_m, i\}$ ). Vi noterar att om $i \notin S_1, S_2$ så är $S_1 \cup \{i\} = S_2 \cup \{i\}$ om och endast om $S_1 = S_2$ . Alltså är:

L(\mathbf{x}_i) = \omega \wedge \mathbf{x}_i = \sum_{S: i \notin S} \pm a_S \mathbf{x}_{S \cup \{i\}}

en linjärkombination av distinkta basvektorer $\mathbf{x}_{S \cup \{i\}}$ . Men vi vet att $L(\mathbf{x}_i) = \mathbf{0}$ om $1 \leq i \leq m$ . Alltså måste $a_S = 0$ om $i \notin S$ för något $1 \leq i \leq m$ , dvs $a_S = 0$ om inte $S = \{1, 2, \ldots, m\}$ . Detta ger att:

\omega = a(\mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m) = (a\mathbf{x}_1) \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m.