Välj $V = \mathbb{C}^2$ och $W = \operatorname{Span}\{\mathbf{e}_1\}$ . Med den vanliga inre produkten på $\mathbb{C}^2$ så är $W^{\perp} = \operatorname{Span}\{\mathbf{e}_2\}$ . Vi beskriver nu en annan inre produkt $\langle -| - \rangle'$ . Det räcker att beskriva vad en orthonormal bas är. Vi väljer $\mathbf{f}_1 = \mathbf{e}_1$ och $\mathbf{f}_2 = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2$ som orthonormal bas. Då blir det ortogonala komplementet till $W = \operatorname{Span}\{\mathbf{f}_1\}$ alltså $\operatorname{Span}\{\mathbf{f}_2\} = \operatorname{Span}\{\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2\}$ . Den nya inre produkten ges alltså av:

\langle \mathbf{f}_i | \mathbf{f}_j \rangle' = \delta_{ij}

eller uttryckt i standardbasen $(\mathbf{e}_1 = \mathbf{f}_1$ och $\mathbf{e}_2 = \mathbf{f}_2 - \mathbf{f}_1)$ :

G = (\langle \mathbf{e}_i | \mathbf{e}_j \rangle')_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

där den inre produkten ges av $G$ via:

\langle \mathbf{x} | \mathbf{y} \rangle' = [\mathbf{x}]_\varepsilon^t G [\mathbf{y}]_\varepsilon.