Rekursionen kan ses som ett system av 3 rekursioner: en för konstanttermerna, en för $t$ -termerna och en för $t^2$ -termerna. Det räcker därför att bestämma en formel för rekursionen $x_{n+1} = 2x_n + 3x_{n-1}$ där följden består av tal $x_0, x_1, \ldots$ med olika initialvärden. Denna kan lösas genom att skriva den på matrisform som:

\mathbf{y}_{n+1} = \begin{bmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_n \\ x_{n-1} \end{bmatrix} = A \mathbf{y}_n.

Matrisen $A$ har egenvärdena $\lambda_1 = -1$ och $\lambda_2 = 3$ med motsvarande egenvektorer $\pmb{\xi}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ och $\pmb{\xi}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ . Eftersom matrisen är diagonaliserbar kan vi skriva $\mathbf{y}_1 = a_1 \pmb{\xi}_1 + a_2 \pmb{\xi}_2$ för några reella tal $a_1, a_2 \in \mathbb{R}$ . Då blir $\mathbf{y}_{n+1} = a_1 \lambda_1^n \pmb{\xi}_1 + a_2 \lambda_2^n \pmb{\xi}_2$ och speciellt (andra koordinaten):

x_n = -a_1 \lambda_1^n + a_2 \lambda_2^n = -a_1 (-1)^n + a_2 3^n

för alla $n \geq 0$ .

För konstanttermerna har vi att $\mathbf{y}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \pmb{\xi}_1$ vilket ger $a_1 = 1$ , $a_2 = 0$ och $x_n = -(-1)^n$ . - För $t$ -termerna har vi att $\mathbf{y}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix} = -3\pmb{\xi}_1 + \pmb{\xi}_2$ vilket ger $a_1 = -3$ , $a_2 = 1$ och $x_n = 3(-1)^n + 3^n$ . - För $t^2$ -termerna har vi att $\mathbf{y}_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \pmb{\xi}_1 + \pmb{\xi}_2$ vilket ger $a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ och $x_n = -(-1)^n + 3^n$ .
Sammanlagt ger detta oss:

p_n(t) = (-1)^n (-t^2 + 3t - 1) + 3^n (t^2 + t).

Svar.

\begin{aligned} p_n(t) &= (-1)^n (-t^2 + 3t - 1) + 3^n (t^2 + t) \\ &= (3^n - (-1)^n)t^2 + (3^n + 3(-1)^n)t - (-1)^n \end{aligned}