Lösningsförslag. Vi beräknar

\begin{array}{l} p_A(t) = \det(tI - A) = \left| \begin{array}{cccc} t - 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & t & 1 & 0 \\ 0 & -1 & t & 0 \\ -1 & -1 & -1 & t - 1 \end{array} \right| = (t - 1) \left| \begin{array}{ccc} t - 1 & 1 & -1 \\ 1 & t & 1 \\ 0 & -1 & t \end{array} \right| \\ = (t - 1) \left((t - 1)(t^2 + 1) - 1 \cdot (t - 1)\right) = (t - 1)^2 t^2 \end{array}

Minimalpolynomet är alltså $t^a (t - 1)^b$ där $a \in \{1,2\}$ och $b \in \{1,2\}$ . Dvs $t^2 - t, t^3 - t^2, t^3 - 2t^2 + t$ eller $t^4 - 2t^3 + t^2$ . Speciellt är graden minst 2. Vi beräknar

A^2 = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \qquad A^3 = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \qquad A^4 = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right]

Vi ser att $A^2 - A \neq 0$ medan $A^3 - A^2 = 0$ och alltså är minimalpolynomet $q_A(t) = t^3 - t^2$ .

Svar. $p_A(t) = t^2 (t - 1)^2 = t^4 - 2t^3 + t^2$ och $q_A(t) = t^2 (t - 1) = t^3 - t^2$ .