Låt $\phi \colon V \longrightarrow \mathbb{C}$ vara en linjär form. Då är

\phi(a_1\mathbf{b}_1 + \cdots + a_n\mathbf{b}_n) = a_1\phi(\mathbf{b}_1) + \cdots + a_n\phi(\mathbf{b}_n).

Alltså är $\phi = \phi(\mathbf{b}_1)\mathbf{b}_1^* + \cdots + \phi(\mathbf{b}_n)\mathbf{b}_n^*$ och $\mathbf{b}_1^*, \ldots, \mathbf{b}_n^*$ spänner upp det duala rummet. För att se att den duala basen är linjärt oberoende, betrakta en linjärkombination

\phi = a_1\mathbf{b}_1^* + \cdots + a_n\mathbf{b}_n^*.

Då är $a_i = \phi(\mathbf{b}_i)$ för alla $i$ . Om $\phi = 0$ är alltså $a_i = 0$ för alla $i$ .