(2 poäng). Låt $1 \leq n \in \mathbb{N}$ och $X = L(\mathbb{R}^n)$ . En funktion $g: X \to X$ sägs vara linjär om $g(aA + bB) = ag(A) + bg(B)$ för alla $a, b \in \mathbb{R}$ och alla $A, B \in X$ . En funktion $f: X \to X$ sägs vara derivbar i $A \in X$ om det finns en linjär funktion $g_A: X \to X$ sådan att

\lim_{H \to 0} \frac{\|f(A + H) - f(A) - g_A(H)\|}{\|H\|} = 0.

Funktionen $g_A$ kallas derivatan av $f$ i $A$ . Visa att om $f(A) = A^2$ så är $f$ derivbar för alla $A \in X$ , och beräkna derivatan, säg $g_A$ , för alla $A \in X$ .