Lösning: Låt oss börja med att bevisa att $d_l$ är en fullständig metrik på $C_b^l(\mathbb{R})$ . Det är klart att $d_l(u,v) \geq 0$ och att $d_l(u,v)$ är ett reellt tal, eftersom

\begin{aligned} d_l(u, v) &= \sup_{x \in \mathbb{R}} \sum_{k=0}^{l} |u^{(k)}(x) - v^{(k)}(x)| \\ &\leq \sup_{x \in \mathbb{R}} \sum_{k=0}^{l} |u^{(k)}(x)| + \sup_{x \in \mathbb{R}} \sum_{k=0}^{l} |v^{(k)}(x)| < \infty, \end{aligned}

där den sista olikheten är en del av den definierande egenskapen hos element av $C_b^l(\mathbb{R})$ . Antag nu att $d_l(u,v) = 0$ . Detta är uppfyllt om och endast om $u(x) = v(x)$ för alla $x \in \mathbb{R}$ . Alltså har vi att $d_l(u,v) = 0$ om och endast om $u = v$ . Det vill säga att $d_l(u,v) > 0$ om $u \neq v$ och $d_l(u,u) = 0$ . Vidare är det uppenbart att $d_l(u,v) = d_l(v,u)$ eftersom $|v - w| = |w - v|$ för alla $v, w \in \mathbb{R}$ . Triangelolikheten är en direkt konsekvens av egenskaper hos beloppet och hos supremum.

För att visa fullständighet, låt $u_n$ vara en Cauchyföljd i $C_b^l(\mathbb{R})$ . Låt $u_{k,n} = u_n^{(k)}$ . Då är $\{u_{k,n}\}$ , $n = 1,2,3,\ldots$ , en Cauchyföljd i $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ för varje $k = 0,\ldots,l$ . Eftersom $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ är ett fullständigt metriskt rum (se Sats 7.15 i Rudin) så finns det $v_k \in \mathcal{C}(\mathbb{R})$ sådana att $u_{k,n} \to v_k$ i $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ . Eftersom $u_{k,n}$ är reellvärda så kommer även $v_k$ vara reellvärd, varav $v_k \in C_b^0(\mathbb{R})$ . Låt $v := v_0$ . Observera att för $0 \leq l < k$ ,

u_{k,n}(x) = u_{k,n}(0) + \int_0^x u_{k+1,n}(t) dt. \tag{9}

Vi vet att $u_{k,n}(x)$ konvergerar till $v_k(x)$ för alla $x \in \mathbb{R}$ . Speciellt så konvergerar vänsterledet i (9) till $v_k(x)$ och första termen i högerledet till $v_k(0)$ . Eftersom $u_{k+1,n}$ konvergerar likformigt till $v_{k+1}$ på intervallet med ändpunkter 0 och $x$ så ger Sats 7.16 slutsatsen att andra termen i högerledet av (9) konvergerar till

\int_0^x v_{k+1}(t) dt.

Sammanfattningsvis så har vi att

v _ {k} (x) = v _ {k} (0) + \int_ {0} ^ {x} v _ {k + 1} (t) d t.

Vi vet redan att $v_{k}$ och $v_{k + 1}$ är kontinuerliga funktioner. Alltså följer det att $v_{k}$ är deriverbar och att $v_{k}^{\prime} = v_{k + 1}$ (se Sats 6.20 i boken). Eftersom $v = v_{0}$ får vi nu induktivt att $v$ är $l$ gånger deriverbar och att $v^{(k)} = v_{k}$ för alla $0 \leq k \leq l$ . Av detta följer att $v \in C_b^l (\mathbb{R})$ och att $d_{l}(u_{n},v) \to 0$ när $n \to \infty$ . Alltså är $C_b^l (\mathbb{R})$ ett fullständigt metriskt rum.

Till slut, låt oss visa att $(C_b^\infty (\mathbb{R}),d)$ är ett fullständigt metriskt rum. Att $d$ definierad av (8) är reellvärd, symmetrisk och uppfyller $d(u,v) > 0$ om $u\neq v$ och $d(u,u) = 0$ är uppenbart. Att $d$ uppfyller triangelolikheten följer direkt från definitionen och del a av uppgiften. För att visa fullständighet, antag att $u_{n}\in C_{b}^{\infty}(\mathbb{R})$ är en Cauchyföljd. Då är $u_{n}$ en Cauchyföljd med avseende på $d_l$ . Alltså finns det en funktion $v_{l}\in C_{b}^{l}(\mathbb{R})$ sådan att $d_{l}(v_{l},u_{n})\to 0$ när $n\to \infty$ . Antag att $0\leq l\leq m$ . Då vet vi att $d_{l}(v_{l},u_{n})\to 0$ och $d_m(v_m,u_n)\to 0$ när $n\to \infty$ . Speciellt så vet vi att $d_{l}(v_{l},u_{n})\to 0$ och $d_{l}(v_{m},u_{n})\to 0$ när $n\to \infty$ . Av detta följer att $v_{l} = v_{m}$ , om vi betraktar båda som element i $C_b^l (\mathbb{R})$ . Alltså är alla $v_{l}$ lika. Om vi betecknar den gemensamma funktionen med $v$ så har vi alltså att $v\in C_b^l (\mathbb{R})$ för alla $l$ . Alltså gäller att $v\in C_b^\infty (\mathbb{R})$ . Vad som kvarstår är att bevisa att $d(u_n,v)\to 0$ när $n\to \infty$ . Låt $\epsilon >0$ och välj ett $1\leq N\in \mathbb{N}$ sådant att $2^{-N} < \epsilon /2$ . Då har vi att

d (u _ {n}, v) = \sum_ {l = 1} ^ {\infty} \frac {1}{2 ^ {l}} \frac {d _ {l} (u _ {n} , v)}{1 + d _ {l} (u _ {n} , v)} \leq \sum_ {l = 1} ^ {N} \frac {1}{2 ^ {l}} \frac {d _ {l} (u _ {n} , v)}{1 + d _ {l} (u _ {n} , v)} + \sum_ {l = N + 1} ^ {\infty} \frac {1}{2 ^ {l}} \frac {d _ {l} (u _ {n} , v)}{1 + d _ {l} (u _ {n} , v)}.

Andra summan längst till höger kan uppskattas ovanifrån av

\sum_ {l = N + 1} ^ {\infty} \frac {1}{2 ^ {l}} = \frac {1}{2 ^ {N}} < \frac {\epsilon}{2}.

Eftersom $d_{l}(v,u_{n})\to 0$ när $n\to \infty$ och $l = 0,\ldots ,N$ så kan vi välja $1\leq M\in \mathbb{N}$ sådant att om $n\geq M$ så gäller att $d_{l}(v,u_{n}) < \epsilon /2$ för alla $l\in \{0,\dots ,N\}$ . Om $n\geq M$ får vi alltså

\sum_ {l = 1} ^ {N} \frac {1}{2 ^ {l}} \frac {d _ {l} (u _ {n} , v)}{1 + d _ {l} (u _ {n} , v)} < \frac {\epsilon}{2} \sum_ {l = 1} ^ {N} \frac {1}{2 ^ {l}} < \frac {\epsilon}{2}.

Genom att kombinera de ovanstående argumenten så får vi slutsatsen att $n \geq M$ leder till konsekvensen att $d(u_n, v) < \epsilon$ . Vi har alltså visat att $d(u_n, v) \to 0$ när $n \to \infty$ . Sammanfattningsvis så är $(C_b^\infty(\mathbb{R}), d)$ ett fullständigt metriskt rum.