Vi bestämmer ON-baser $\mathcal{B}_1$ , $\mathcal{B}_2$ för $\mathbb{R}^3$ som är anpassade för $L_1$ respektive $L_2$ . Basen $\mathcal{B}_i$ består av den normerade ortsvektorns till $P_i$ , normerade riktningsvektorn för $L_i$ samt en tredje vektor som kan fås av kryssprodukten av de andra två:

\mathcal{B}_1 = \left(\frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}, \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\right); \quad \mathcal{B}_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ -1 \end{bmatrix}\right).

Matrisen $A$ måste avbilda vektorerna i $B_1$ på vektorerna i $B_2$ (det finns ett val av tecken vid de sista två vektorerna, så $A$ är inte helt unik). Den ges därmed av

\begin{aligned} A &= \frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 4 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 2\sqrt{2} & -3 \\ -1 & 2\sqrt{2} & 3 \end{bmatrix} \left(\frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 3 & 2\sqrt{2} & -1 \\ 0 & -\sqrt{2} & -4 \\ -3 & 2\sqrt{2} & -1 \end{bmatrix}\right)^{-1} \\ &= \frac{1}{(3\sqrt{2})^2} \begin{bmatrix} 4 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 2\sqrt{2} & -3 \\ -1 & 2\sqrt{2} & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 2\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 2\sqrt{2} \\ -1 & -4 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{18} \begin{bmatrix} 16 & -2 & -8 \\ 8 & 8 & 14 \\ 2 & -16 & 8 \end{bmatrix} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 8 & -1 & -4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{bmatrix}. \end{aligned}