Lösningsförslag.

(b) Låt $X$ beteckna mängden

X = \left\{ \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 15, x_{i} \in \mathbb{N} \right\}.

Vi låter $X_{ij} \subset X$ beteckna delmängden av fördelningar där $x_i = x_j$ . Då är $x_i \in \{0,1,2,\ldots,7\}$ eftersom $8 + 8 > 15$ . När $x_i$ är bestämt så ges de övriga två variablerna $j,k$ av $x_j = x_i$ och $x_k = 15 - 2x_i$ . Alltså är $|X_{ij}| = 8$ . Vidare är $X_{ij} \cap X_{ik} = X_{123}$ mängden av alla fördelningar där $x_i = x_j = x_k$ . Det finns bara en enda sådan $(5,5,5)$ . Slutligen är $X_{12} \cap X_{23} \cap X_{13} = X_{123}$ . Principen om inklusion-exklusion ger:

\begin{array}{l} |X| - |X_{12} \cup X_{13} \cup X_{23}| = |X| - |X_{12}| - |X_{13} - |X_{23}| \\ \quad + |X_{12} \cap X_{13}| + |X_{12} \cap X_{23}| + |X_{13} \cap X_{23}| \\ \quad - |X_{12} \cap X_{13} \cap X_{23}| \\ \quad = 136 - 3 \cdot 8 + 3 \cdot 1 - 1 = 114. \end{array}

Alternativt kan man betrakta delmängden $Y_{ij}$ av fördelningar där $x_i = x_j$ men inte alla tre är lika. Det är 7 stycken sådana. Detta ger

\begin{array}{l} |X| - |X_{12} \cup X_{13} \cup X_{23}| = |X| - |Y_{12} \cup Y_{13} \cup Y_{23} \cup X_{123}| \\ \quad = |X| - |Y_{12}| - |Y_{13}| - |Y_{23}| - |X_{123}| \\ \quad = 136 - 3 \cdot 7 - 1 = 114 \end{array}

eftersom $Y_{12}, Y_{13}, Y_{23}, X_{123}$ är disjunkta.

En annan lösning är att först räkna tripplar $(x_{1},x_{2},x_{3})$ där $0 \leq x_{1} < x_{2} < x_{3}$ och $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 15$ . Antalet sådana är 19 st. Tar vi sedan alla permutationer får vi $19 \cdot 3! = 19 \cdot 6 = 114$ .

Svar.

(a) 136 (b) 114