Om vi har en partition av $\{1,2,\ldots,10\}$ i 7 delar där 1, 2 och 3 är i olika delar så kan vi kalla dessa delar 1, 2 och 3 och därefter numrera resterande 4 delar som $4,5,6,7$ på $4!$ olika sätt. Detta ger en surjektiv funktion som önskat.
Antalet sådana partitioner ges av inklusion-exklusion. Låt $X$ vara mängden av alla partitioner av $\{1,2,\ldots,10\}$ i 7 delar. Det finns $S(10,7)$ sådana.

Låt $A_{ij} \subset X$ vara partitionerna där $i$ och $j$ är i samma del. Det finns $S(9,7)$ sådana partitioner (fås genom att betrakta $i$ och $j$ som en enhet).
Låt $A_{ijk} \subset X$ vara partitionerna där $i, j$ och $k$ är i samma del. Det finns $S(8,7)$ sådana partitioner.
Vi har då

\begin{array}{l} \left| X \smallsetminus \left(A_{12} \cup A_{13} \cup A_{23}\right) \right| = \left| X \right| - \left| A_{12} \right| - \left| A_{13} \right| - \left| A_{23} \right| + \left| A_{12} \cap A_{13} \right| \\ \quad + \left| A_{12} \cap A_{23} \right| + \left| A_{13} \cap A_{23} \right| - \left| A_{12} \cap A_{13} \cap A_{23} \right| \\ = |X| - |A_{12}| - |A_{13}| - |A_{23}| + 2|A_{123}| \\ = S(10,7) - 3S(9,7) + 2S(8,7) \end{array}

och det slutliga antalet surjektiva funktioner ges av

\begin{array}{l} 4! \cdot \left(S(10,7) - 3S(9,7) + 2S(8,7)\right). \\ \left(= 24 \cdot (5880 - 3 \cdot 462 + 2 \cdot 28) = 24 \cdot 4550 = 109200\right) \end{array}

Alternativ lösning med fallindelning. Låt $a_1, a_2, a_3$ vara antalet element i definitionsmängden som $f$ tar på 1, 2 respektive 3.

$a_1 = a_2 = a_3 = 1$ , dvs det är enbart 1, 2, 3 som går på 1, 2, 3. Resterande värden kan då väljas på $4!S(7,4)$ sätt.
En av $a_i > 1$ övriga $a_i = 1$ . Då kan resterande värden väljas på $5!S(7,5)$ sätt.
Två av $a_i > 1$ och den tredje $a_i = 1$ . Då kan resterande värden väljas på $6!S(7,6)$ sätt.
Alla tre $a_i > 1$ . Då kan resterande värden väljas på $7!S(7,7)$ sätt.
Detta ger

\begin{array}{l} 4! \cdot S(7,4) + \binom{3}{1} \cdot 5! \cdot S(7,5) + \binom{3}{2} \cdot 6! \cdot S(7,6) + 7! \cdot S(7,7) \\ = 4! \left(S(7,4) + 15 \cdot S(7,5) + 90 \cdot S(7,6) + 210\right) \\ \left(= 24 \cdot (350 + 15 \cdot 140 + 90 \cdot 21 + 210) = 24 \cdot 4550 = 109200\right) \end{array}

Svar. $4! \left(S(10,7) - 3S(9,7) + 2S(8,7)\right) = 4! \left(S(7,4) + 15 \cdot S(7,5) + 90 \cdot S(7,6) + 210\right).$