Att $10 \mid 3^n + 4^n + 5^n$ är detsamma som att $3^n + 4^n + 5^n$ är delbart med 2 och 5, dvs

3^n + 4^n + 5^n \equiv 0 \pmod{2} 3^n + 4^n + 5^n \equiv 0 \pmod{5}.

Vi har att

3^n + 4^n + 5^n \equiv 1^n + 0^n + 1^n = 2 \equiv 0 \pmod{2}.

och att

3^n + 4^n + 5^n \equiv 3^n + (-1)^n + 0^n \pmod{5}.

Fermats lilla sats ger att

3^4 \equiv 1 \pmod{5}

. Vi delar nu in i följande fall:

(a) $n = 4k$ . Då är $3^n = (3^4)^k \equiv 1 \pmod{5}$ och $(-1)^n = 1$ och

3^n + 4^n + 5^n \equiv 1 + 1 + 0 = 2 \pmod{5}.

(Om

n = k = 0

så är

5^n = 1

och vi får

1 + 1 + 1 = 3

istället för 2.)

(b) $n = 4k + 1$ . Då är $3^n = (3^4)^k \cdot 3 \equiv 3 \pmod{5}$ och $(-1)^n = -1$ och

3^n + 4^n + 5^n \equiv 3 - 1 + 0 = 2 \pmod{5}.

(c) $n = 4k + 2$ . Då är $3^n = (3^4)^k \cdot 3^2 \equiv -1 \pmod{5}$ och $(-1)^n = 1$ och

3^n + 4^n + 5^n \equiv -1 + 1 + 0 = 0 \pmod{5}.

(d) $n = 4k + 3$ . Då är $3^n = (3^4)^k \cdot 3^3 \equiv 2 \pmod{5}$ och $(-1)^n = -1$ och

3^n + 4^n + 5^n \equiv 2 - 1 + 0 = 1 \pmod{5}.

Alltså är

10 \mid 3^n + 4^n + 5^n

precis när

n \equiv 2 \pmod{4}

.
Svar.

n \equiv 2 \pmod{4}

.