Lösningsförslag. Vi börjar med att dela ut 2 kakor var och har då 8 kakor kvar. Låt $a_i$ vara antalet ytterligare kakor som barn $i$ får. Då blir problemet att hitta antalet lösningar till

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \leq 8, \quad 0 \leq a_i \leq 2, \forall i.

Vi inför antalet överblivna kakor $c = 8 - (a_1 - a_2 - a_3 - a_4 - a_5)$ . Då får vi

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + c = 8, \quad 0 \leq a_i \leq 2, \forall i \text{ och } 0 \leq c.

Utan begränsningen $a_i \leq 2$ är det frågan om antalet svaga kompositioner av 8 i 6 delar. Det är frågan om stars-and-bar med 8 stjärnor (kakor) och $6 - 1$ pinnar att fördela på $8 + 6 - 1$ positioner: $(\star \star \star | \star \star | \star | \star | \star)$ vilket går att göra på

\binom{8 + 6 - 1}{6 - 1} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 11 \cdot 9 = 1287 \text{ sätt}.

Låt $A_i$ vara mängden av de fördelningar där $a_i \geq 3$ . Detta är detsamma som att först dela ut 3 kakor extra till barn $i$ och sedan fördela resterande $8 - 3 = 5$ kakor på 5 barn och ett fat vilket kan göras på

\binom{5 + 6 - 1}{6 - 1} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 4 \cdot 7 = 252 \text{ sätt}.

Betrakta nu mängden $A_i \cap A_j$ ( $i \neq j$ ) av fördelningar där $a_i, a_j \geq 3$ . Om vi börjar med att dela ut 3 kakor extra till barn $i$ och $j$ så ska vi fördela resterande $8 - 3 - 3 = 2$ kakor på 5 barn och ett fat vilket kan göras på

\binom{2 + 6 - 1}{6 - 1} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 21 \text{ sätt}.

Mängden $A_i \cap A_j \cap A_k$ (med $i, j, k$ distinkta) av fördelningar med $a_i, a_j, a_k \geq 3$ är tom eftersom vi bara har $8 < 3 \cdot 3$ kakor kvar att dela ut.

Med inklusion och exklusion får vi nu totala antalet fördelningar:

1287 - 5 \cdot 252 + \binom{5}{2} \cdot 21 = 1287 - 1260 + 210 = 237.

Alternativ lösning genom fallindelning enligt nedan

4 barn får 4 kakor och det femte barnet 2 kakor. Kan göras på $\binom{5}{4}$ sätt.
3 barn får 4 kakor och de övriga två får 2 eller 3 kakor. Kan göras på $\binom{5}{3} \cdot 2^2$ sätt.
2 barn får 4 kakor och de övriga tre får 2 eller 3 kakor. Kan göras på $\binom{5}{2} \cdot 2^3$ sätt.
1 barn får 4 kakor och de övriga fyra får 2 eller 3 kakor. Kan göras på $\binom{5}{1} \cdot 2^4$ sätt.
Alla fem barn får 2 eller 3 kakor. Kan göras på $2^5$ sätt.

Detta ger sammanlagt $5 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 8 + 5 \cdot 16 + 32 = 237$ sätt.

Alternativ lösning 2. Låt varje barn välja mellan 2, 3 eller 4 kakor. Det kan göras på $3^5 = 243$ sätt. Av dessa har följande fall använt mer än 18 kakor.

19 kakor: 4 barn får 4 kakor och det femte barnet 3 kakor. Kan göras på 5 sätt.
20 kakor: alla 5 får 4 kakor. Kan göras på 1 sätt.
Detta ger $243 - 5 - 1 = 237$ sätt.

Svar. 237 sätt.