Lösning. Vi använder partialbråksuppdelning och skriver

\frac{2 + 5x}{(x + 3)(x^2 + 4)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4}

vilket ger

\begin{array}{l} 2 + 5x = A(x^2 + 4) + B(x^2 + 3x) + C(x + 3) \\ = (A + B)x^2 + (3B + C)x + 4A + 3C. \end{array}

Det ger ekvationssystemet

\begin{array}{l} A + B = 0 \\ 3B + C = 5 \\ 4A + 3C = 2. \end{array}

Vi får $A = -1$ , $B = 1$ och $C = 2$ . Därför är

\int_{0}^{2} \frac{2 + 5x}{(x + 3)(x^2 + 4)} dx = - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 3} dx + \int_{0}^{2} \frac{x + 2}{x^2 + 4} dx.

Vi har

- \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 3} dx = - \ln(x + 3) \bigg|_{0}^{2} = \ln(3) - \ln(5) = \ln(3/5).

Variabelsubstitutionen $y = x^2 + 4$ ger $dy = 2x \, dx$ och vi får

\begin{array}{l} \int_{0}^{2} \frac{x}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{y} dy = \frac{1}{2} \ln(y) \bigg|_{8}^{4} \\ = \frac{1}{2} (\ln(8) - \ln(4)) = \frac{1}{2} \ln(8/4) = \frac{1}{2} \ln(2) = \ln(\sqrt{2}). \end{array}

Variabelsubstitutionen $y = x/2$ ger $dy = dx/2$ och vi får

\begin{array}{l} \int_{0}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{(x/2)^2 + 1} dx \\ = \int_{0}^{1} \frac{1}{y^2 + 1} dy = \arctan(y) \bigg|_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}. \end{array}

Tillsammans får vi

\begin{array}{l} \int_{0}^{2} \frac{2 + 5x}{(x + 3)(x^2 + 4)} = - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 3} dx + \int_{0}^{2} \frac{x + 2}{x^2 + 4} dx \\ = \ln(3/5) + \frac{\pi}{4} + \ln(\sqrt{2}) = \ln\left(\frac{3\sqrt{2}}{5}\right) + \frac{\pi}{4}. \end{array}

Svar: $\ln\left(\frac{3\sqrt{2}}{5}\right) + \frac{\pi}{4}$