Lösning. Insättning ger $\infty - \infty$ , d.v.s. en obestämd form. Vi försöker därför omforma uttrycket. Förlängning med konjugatet ger

\begin{aligned} f(x) &= \left(\sqrt{x^2 + 8x + 1} - \sqrt{x^2 + 4x - 5}\right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 8x + 1} + \sqrt{x^2 + 4x - 5}}{\sqrt{x^2 + 8x + 1} + \sqrt{x^2 + 4x - 5}} \\ &= \frac{x^2 + 8x + 1 - x^2 - 4x + 5}{\sqrt{x^2 + 8x + 1} + \sqrt{x^2 + 4x - 5}} \\ &= \frac{4x + 6}{\sqrt{x^2 + 8x + 1} + \sqrt{x^2 + 4x - 5}} \\ &= \frac{x}{|x|} \cdot \frac{4 + \frac{6}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x} - \frac{5}{x^2}}}. \end{aligned}

där vi i sista raden även faktoriserat ut en faktor $x$ ur både täljaren och nämnaren. Därmed blir gränsvärdena

\lim_{x \to \infty} f(x) = (+1) \cdot \frac{4}{1 + 1} = +2

och

\lim_{x \to -\infty} f(x) = (-1) \cdot \frac{4}{1 + 1} = -2.

Svar: $\lim_{x\to \infty}f(x) = 2$ och $\lim_{x\to -\infty}f(x) = (-1)\cdot \frac{4}{1 + 1} = -2$ .