Lösning. Antag att vi vill beräkna arean under kurvan $f(x) = x \cos x$ mellan $0 < x < \pi$ . Arean kan approximeras av en Riemannsumma

R_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f(x_{n}) \Delta x.

Använd $\Delta x = \frac{\pi}{n}$ och $x_{n} = k\cdot \frac{\pi}{n}$ , där $k = 1,\ldots ,n$ , ger

R_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k \pi^{2}}{n^{2}} \cos \left(\frac{k \pi}{n}\right).

Gränsvärdet $n \to \infty$ ger den exakta arean under kurvan, d.v.s. en integral:

\lim_{n \to \infty} R_{n} = \int_{0}^{\pi} f(x) dx

Sätt in $R_{n}$ och $f(x)$ i detta uttryck ger

I = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k \pi^{2}}{n^{2}} \cos \left(\frac{k \pi}{n}\right) = \int_{0}^{\pi} x \cos x dx.

Det efterfrågade gränsvärdet $I$ kan alltså uttryckas som en integral. Partiell integration ger en primitiv funktion:

\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x

Det efterfrågade gränsvärdet är därför

I = \int_{0}^{\pi} x \cos x dx = -2.

Svar: