Lösning. Den givna differentialekvationen

y''(x) + 2y'(x) + 5y(x) = e^{-x} \cos(2x)

är en linjär andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter och begynnelsevärden. Vi löser problemet i tre steg.

Först hittar vi den allmänna lösningen till den homogena ekvationen:

y''(x) + 2y'(x) + 5y(x) = 0

Den får vi genom den karaktäristiska ekvationen

r^2 + 2r + 5 = 0

som har de komplexa rötterna $r = -1 + 2i$ och $r = -1 - 2i$ , och därmed

y_H(x) = A \cdot e^{-x} \cos(2x) + B \cdot e^{-x} \sin(2x).

Sedan hittar vi en lösning till den icke-homogena ekvationen:

y''(x) + 2y'(x) + 5y(x) = e^{-x} \cos(2x)

Eftersom högerledet löser den homogena ekvationen, provar vi ansatsen

y(x) = Cx \cdot e^{-x} \cos(2x) + Dx \cdot e^{-x} \sin(2x).

Den ansatsen ger

\begin{array}{l} y'(x) = Ce^{-x} \left((1 - x)\cos(2x) - 2x \sin(2x)\right) \\ + De^{-x} \left((1 - x)\sin(2x) + 2x \cos(2x)\right) \end{array}

och

\begin{array}{l} y''(x) = Ce^{-x} \left(-(2 + 3x)\cos(2x) + (4x - 4)\sin(2x)\right) \\ + De^{-x} \left(-(2 + 3x)\sin(2x) + (4 - 4x)\cos(2x)\right) \end{array}

Vi sätter in detta i den givna differentialekvationen:

e^x \cos(2x) = y''(x) + 2y'(x) + 5y(x) = -4Ce^{-x} \sin(2x) + 4D \cos(2x)

Om detta ska stämma så måste $C = 0$ och $D = 1/4$ . Vi sätter partikulärlösningen

y_P(x) = \frac{x}{4} \cdot e^{-x} \sin(2x).

Den allmänna lösningen till diffekvationen är alltså

y(x) = y_H(x) + y_P(x) = A \cdot e^{-x} \cos(2x) + B \cdot e^{-x} \sin(2x) + \frac{x}{4} \cdot e^{-x} \sin(2x).

Tredje och sista steget är att bestämma integrationskonstanterna $A$ och $B$ . Det gör vi genom att sätta in begynnelsevillkoren $y(0) = -1$ och $y'(0) = 7$ i vårt uttryck för $y(x)$ . Vi behöver derivatan av vårt $y(x)$ :

\begin{array}{l} y'(x) = y_H'(x) + y_P'(x) \\ = -A e^{-x} (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) - B e^{-x} (\sin(2x) - 2 \cos(2x)) \\ + \frac{1}{4} e^{-x} ((1 - x) \sin(2x) + 2x \cos(2x)) \end{array}

Vi sätter in begynnelsevillkoren:

\begin{array}{l} -1 = y(0) = A + B \cdot 0 \\ 7 = y'(0) = -A + 2B - 0. \end{array}

och får $A = -1$ och $B = 3$ , så lösningen till differentialekvationsproblemet är:

y(x) = -e^{-x} \cos(2x) + 3e^{-x} \sin(2x) + \frac{1}{4}x \cdot e^{-x} \sin(2x)

Svar: $-e^{-x} \cos(2x) + 3e^{-x} \sin(2x) + \frac{x}{4} \cdot e^{-x} \sin(2x)$