Inför mängderna

$A_{i} = \text{återlämningar}$ där student $i$ får tillbaka rätt förmiddags- och eftermiddagsskrivning.

Då sökes $|(A_{1} \cup \cdots \cup A_{10})^{c}| = |\mathcal{U}| - |A_{1} \cup \cdots \cup A_{10}|$ .

Mängden $\mathcal{U}$ består av alla tänkbara sätt att återlämna skrivningarna. Antalet sätt att återlämna förmiddagsskrivningarna är 10! och antalet sätt att återlämna eftermiddagsskrivningarna är också 10!. Multiplikationsprincipen ger att $|\mathcal{U}| = 10! \cdot 10!$ .

Enligt principen om inklusion/exklusion är

\begin{array}{l} \left| A_{1} \cup \cdots \cup A_{10} \right| = \sum_{i} \left| A_{i} \right| - \sum_{i_{1} < i_{2}} \left| A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \right| + \sum_{i_{1} < i_{2} < i_{3}} \left| A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}} \right| \\ - \cdots + (-1)^{9} \sum_{i_{1} < \cdots < i_{10}} \left| A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{10}} \right|. \tag{*} \end{array}

Det gäller att $|A_i| = 9! \cdot 9!$ eftersom student $i$ får sina två skrivningar korrekt återlämnade medan resten av skrivningarna (9 förmiddagsskrivningar och 9 eftermiddagsskrivningar) delas ut på alla tänkbara sätt. Det gör att den första summan i högerledet av (*) blir

\sum_{i} \left| A_{i} \right| = \binom{10}{1} (9!)^{2}

där $\binom{10}{1}$ är antalet termer i summan.

Det gäller att $|A_{i_1} \cap A_{i_2}| = 8! \cdot 8!$ eftersom student $i_1$ och $i_2$ får sina två skrivningar korrekt återlämnade medan resten av skrivningarna (8 förmiddagsskrivningar och 8 eftermiddagsskrivningar) delas ut på alla tänkbara sätt. Det gör att den andra summan i högerledet av (*) blir

\sum_{i_{1} < i_{2}} \left| A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \right| = \binom{10}{2} (8!)^{2}

där $\binom{10}{2}$ är antalet termer i summan.

Samma typ av resonemang kan göras för de återstående termerna i högerledet av (*) och det ger i slutänden att svaret blir

(10!)^{2} - \binom{10}{1} (9!)^{2} + \binom{10}{2} (8!)^{2} - \cdots + \binom{10}{10} (0!)^{2} = \sum_{k=0}^{10} (-1)^{k} \binom{10}{10-k} (k!)^{2}.

Svar: $\sum_{k=0}^{10} (-1)^{k} \binom{10}{10-k} (k!)^{2}$