Vi ska bevisa formeln

\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r},

för alla heltal $n \geq 0$ med hjälp av induktion. Bassteg: För $n = 0$ är vänsterledet

\sum_{k=0}^{0} r^k = r^0 = 1,

och högerledet

\frac{1 - r^{0+1}}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1,

så formeln stämmer för $n = 0$ .
Induktionsantagande: Antag att formeln gäller för något $n \geq 0$ , det vill säga

\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}.

Induktionssteg: Vi visar att den då gäller för $n + 1$ :

\begin{array}{l} \sum_{k=0}^{n+1} r^k = \left(\sum_{k=0}^{n} r^k\right) + r^{n+1} \\ = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} + r^{n+1} \quad \text{(enligt induktionsantagandet)} \\ = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} + \frac{r^{n+1}(1 - r)}{1 - r} \\ = \frac{1 - r^{n+1} + r^{n+1} - r^{n+2}}{1 - r} \\ = \frac{1 - r^{n+2}}{1 - r}. \end{array}

Alltså gäller formeln också för $n + 1$ , och därmed för alla $n \geq 0$ .