Låt $P = (x, y)$ vara en godtycklig punkt på ellipsen. Enligt definitionen är summan av avstånden till brännpunkterna $F_1 = (-3, 0)$ och $F_2 = (3, 0)$ lika med 10.
Vi ställer upp ekvationen, flyttar över en rotterm, kvadrerar båda leden, förenklar, isolerar den kvarvarande roten, kvadrerar igen och skriver om på standardform:

\begin{array}{l} \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = 10 \\ \Longleftrightarrow \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} = 10 - \sqrt{(x - 3)^2 + y^2} \\ \Longleftrightarrow (x + 3)^2 + y^2 = \left(10 - \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}\right)^2 \\ \Longleftrightarrow x^2 + 6x + 9 + y^2 = 100 - 20\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} + x^2 - 6x + 9 + y^2 \\ \Longleftrightarrow 12x - 100 = -20\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} \\ \Longleftrightarrow 3x - 25 = -5\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} \\ \Longleftrightarrow (3x - 25)^2 = 25((x - 3)^2 + y^2) \\ \Longleftrightarrow 9x^2 - 150x + 625 = 25(x^2 - 6x + 9 + y^2) \\ \Longleftrightarrow 9x^2 - 150x + 625 = 25x^2 - 150x + 225 + 25y^2 \\ \Longleftrightarrow 400 = 16x^2 + 25y^2 \\ \Longleftrightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \\ \Longleftrightarrow \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1. \end{array}

Kommentar om falska rötter: Kvadrering av en ekvation $A = B$ är en ekvivalens $A = B \iff A^2 = B^2$ endast om $A$ och $B$ har samma tecken.

Vid första kvadreringen är $HL \geq 0$ eftersom ett enskilt avstånd aldrig kan överstiga summan av avstånden, dvs 10.
Vid andra kvadreringen är $HL \leq 0$ . Eftersom det största möjliga $x$ värdet fås då $y = 0$ ser vi att $x \leq 5$ . Därför är även $VL = 3x - 25 \leq -10$ , dvs negativt.
Därmed har vi ekvivalens i varje steg.