Lösningsförslag: Använd separation av variabler. Vi antar att lösningar har formen

u (x, t) = X (x) T (t)

för några funktioner $X$ och $T$ . Då blir ekvationen

4 X ^ {\prime \prime} T = X T ^ {\prime \prime},

vilken kan separeras för att få

\frac {X ^ {\prime \prime}}{X} = \frac {T ^ {\prime \prime}}{4 T} = - \lambda

för någon reell konstant $\lambda$ .
Först löser vi ekvationen $X'' = -\lambda X$ , och vi uppdelar i olika fall beroende på $\lambda$ . Randvillkoren kan tolkas som $X(0) = X(\pi) = 0$ .
Fall 1: $\lambda = 0$ , så $X(x) = c_{1}x + c_{2}$ . Randvillkoren medför bara den triviala lösningen.
Fall 2: $\lambda = -\alpha^2 < 0$ , så $X(x) = c_{1}e^{\alpha x} + c_{2}e^{-\alpha x}$ (eller $X(x) = c_{1}\cosh (\alpha x) + c_{2}\sinh (\alpha x)$ ). Randvillkoren medför bara den triviala lösningen.
Fall 3: $\lambda = \alpha^2 > 0$ , så $X(x) = c_{1}\cos(\alpha x) + c_{2}\sin(\alpha x)$ . Randvillkoren medför $c_{1} = 0$ och $c_{2}\sin(\alpha\pi) = 0$ , så för icke-triviala lösningar behövs $\alpha = n = 1,2,3,\ldots$ (och därför $\lambda = n^2$ ). Lösningarna ges av

X _ {n} (x) = c _ {2, n} \sin (n x)

för $n = 1,2,3,\ldots$
Nu löser vi ekvationen $T'' = -4\lambda T = -4n^2T$ . Den medför $T(t) = c_3\cos(2nt) + c_4\sin(2nt)$ . Begynnelsevillkoret $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 0$ ger $T'(0) = 0$ , så nu deriverar vi och får

T ^ {\prime} (t) = - 2 n c _ {3} \sin (2 n t) + 2 n c _ {4} \cos (2 n t).

Då blir $T'(0) = 2nc_4$ , så $c_4 = 0$ . Lösningarna ges därför av

T _ {n} (t) = c _ {3, n} \cos (2 n t).

Den ursprungliga ekvationen har då produktlösningar

u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t) = A_n \sin(nx) \cos(2nt)

där vi har skrivit $A_n = c_{2,n}c_{3,n}$ . Låt

u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(nx) \cos(2nt)

(enligt superpositionsprincipen är även $u(x,t)$ en lösning till ekvationen). Till sist använder vi begynnelsevillkoret på $u(x,0)$ , vilket leder till

3 \sin(2x) - \sin(3x) = u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(nx).

Då blir $A_2 = 3$ , $A_3 = -1$ , och $A_n = 0$ för $n \neq 2, 3$ .
Svar: $u(x,t) = 3\sin(2x)\cos(4t) - \sin(3x)\cos(6t)$ .
[Kontroll: Först kontrollerar vi att $u$ uppfyller vågekvationen (kanske mindre viktigt eftersom det går att visa mer allmänt att allting av rätt form uppfyller ekvationen, men det gör vi ändå). Vi har

\frac{\partial u}{\partial x} = 6 \cos(2x) \cos(4t) - 3 \cos(3x) \cos(6t),

så

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -12 \sin(2x) \cos(4t) + 9 \sin(3x) \cos(6t).

Då har vi

\frac{\partial u}{\partial t} = -12 \sin(2x) \sin(4t) + 6 \sin(3x) \sin(6t),

så

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -48 \sin(2x) \cos(4t) + 36 \sin(3x) \cos(6t) = 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},

vilket skulle visas.
Nu tittar vi på randvillkoren:

u(0, t) = 3 \sin(0) \cos(4t) - \sin(0) \cos(6t) = 0,

och

u(\pi, t) = 3 \sin(2\pi) \cos(4t) - \sin(3\pi) \cos(6t) = 0;

samt begynnelsevillkoren:

u(x, 0) = 3 \sin(2x) \cos(0) - \sin(3x) \cos(0) = 3 \sin(2x) - \sin(3x),

och (se ovan)

\frac {\partial u}{\partial t} (x, 0) = - 12 \sin (2 x) \sin (0) + 6 \sin (3 x) \sin (0) = 0.

Så lösningen uppfyller alla villkor.]