Lösningsförslag: Låt

A = \left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 4 & 1 \end{array} \right) \quad \text{och} \quad \mathbf {F} (t) = \left( \begin{array}{c} e ^ {3 t} \\ 2 e ^ {3 t} \end{array} \right).

Egenvärdena till $A$ ges av ekvationen

\left| \begin{array}{cc} 5 - \lambda & -1 \\ 4 & 1 - \lambda \end{array} \right| = \lambda^ {2} - 6 \lambda + 9 = (\lambda - 3) ^ {2} = 0,

varmed vi ser att $\lambda = 3$ är ett dubbelt egenvärde. Egenvektorer:

\left( \begin{array}{cc} 5 - 3 & -1 \\ 4 & 1 - 3 \end{array} \middle| \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 0 & 0 \end{array} \middle| \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)

och vi ser att egenrummet spänns upp av egenvektorn

\mathbf {k} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right).

En lösning till det associerade homogena systemet ges alltså av

\mathbf {X} _ {1} (t) = \mathbf {k} e ^ {3 t} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) e ^ {3 t}.

För att hitta en andra lösning ansätter vi $\mathbf{X}_2(t) = \mathbf{k}_1te^{3t} + \mathbf{p}e^{3t}$ . Om man sätter in denna ansats i ekvationen så får man kraven att $\mathbf{k}_1$ skall vara en egenvektor (vi kan alltså välja $\mathbf{k}_1 = \mathbf{k}$ ) och att $\mathbf{p}$ måste uppfylla $(A - 3I)\mathbf{p} = \mathbf{k}$ (se boken för en motivering). Vi behöver alltså lösa

\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{array} \middle| \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 0 & 0 \end{array} \middle| \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right),

och ser att vi kan välja

\mathbf {p} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array} \right).

Detta ger en andra (av $\mathbf{X}_1$ linjärt oberoende) lösning

\mathbf {X} _ {2} (t) = \mathbf {k} t e ^ {3 t} + \mathbf {p} e ^ {3 t} = \left( \begin{array}{c} t \\ 2 t - 1 \end{array} \right) e ^ {3 t}.

En fundamentalmatris är

\Phi(t) = \left( \begin{array}{cc} e^{3t} & te^{3t} \\ 2e^{3t} & (2t - 1)e^{3t} \end{array} \right).

Nu använder vi variation av parametrar för att hitta en partikulärlösning. Vi ansätter därför $\mathbf{X}_p(t) = \Phi(t)\mathbf{u}(t)$ . Det följer genom insättning i den ursprungliga ekvationen att

\begin{array}{l} \mathbf{u}(t) = \int \Phi^{-1}(t) \mathbf{F}(t) \, dt = \int \left( \begin{array}{cc} (-2t + 1)e^{-3t} & te^{-3t} \\ 2e^{-3t} & -e^{-3t} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e^{3t} \\ 2e^{3t} \end{array} \right) dt \\ = \int \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) dt = \left( \begin{array}{c} t + d_1 \\ d_2 \end{array} \right) \end{array}

där $d_1$ och $d_2$ är godtyckliga konstanter. Låt nu $d_1 = d_2 = 0$ . En partikulärlösning är därmed

\mathbf{X}_p(t) = \Phi(t) \mathbf{u}(t) = \left( \begin{array}{cc} e^{3t} & te^{3t} \\ 2e^{3t} & (2t - 1)e^{3t} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) te^{3t}.

Detta leder till att den allmänna lösningen till den ursprungliga ekvationen är

\mathbf{X}(t) = \mathbf{X}_h(t) + \mathbf{X}_p(t) = \Phi(t) \mathbf{c} + \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) te^{3t} = \left( \begin{array}{c} c_1 e^{3t} + c_2 te^{3t} + te^{3t} \\ 2c_1 e^{3t} + c_2 (2t - 1)e^{3t} + 2te^{3t}. \end{array} \right)

Svar: Lösningen till systemet är

\mathbf{X}(t) = \left( \begin{array}{c} c_1 e^{3t} + c_2 te^{3t} + te^{3t} \\ 2c_1 e^{3t} + c_2 (2t - 1)e^{3t} + 2te^{3t}. \end{array} \right)

där $c_1$ och $c_2$ är reella konstanter.