Lösningsförslag: Givet att $u$ tar formen (5) kan det första begynnelsevillkoret skrivas

0 = u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin \frac{n\pi}{L} x.

Konstanterna $A_n$ får vi alltså genom att utveckla funktionen 0 i en sinusserie. Detta ger $A_n = 0$ för alla $n$ . För att kunna anpassa det andra begynnelsevillkoret beräknar vi först att

\frac{\partial u}{\partial t} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(- \frac{n\pi a}{L} A_n \sin \frac{n\pi a}{L} t + \frac{n\pi a}{L} B_n \cos \frac{n\pi a}{L} t\right) \sin \frac{n\pi}{L} x.

Det andra begynnelsevillkoret svarar alltså mot att

f(x) = \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\pi a}{L} B_n \sin \frac{n\pi}{L} x,

där

f(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L/2, \\ 1, & L/2 \leq x < L. \end{cases}

Alltså skall vi utveckla $f$ i en sinusserie. Mer specifikt skall vi välja konstanterna $B_n$ så att

\begin{aligned} \frac{n\pi a}{L} B_n &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi}{L} x \, dx = \frac{2}{L} \int_{L/2}^{L} \sin \frac{n\pi}{L} x \, dx = \frac{2}{L} \left[ -\frac{L}{n\pi} \cos \frac{n\pi}{L} x \, dx \right]_{L/2}^{L} \\ &= -\frac{2}{n\pi} \left[ \cos(n\pi) - \cos(n\pi/2) \right]. \end{aligned}

Alltså ges $B_n$ av

B_n = -\frac{2L}{(n\pi)^2 a} \left[ \cos(n\pi) - \cos(n\pi/2) \right].

Detta ger

Svar:

u(x, t) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2L}{(n\pi)^2 a} \left[ \cos(n\pi) - \cos(n\pi/2) \right] \sin \frac{n\pi a}{L} t \sin \frac{n\pi}{L} x.