Lösningsförslag: Beräkna, för att verifiera att $y_1$ är en lösning: $y_1'(x) = 4x^3$ och $y_1''(x) = 12x^2$ . Detta ger

x^2 y_1''(x) - 7x y_1'(x) + 16y_1'(x) = 12x^4 - 28x^4 + 16x^4 = 0

för alla $x$ . Alltså är $y_1$ en lösning till (1). För att hitta en andra lösning, ansätt $y(x) = u(x)y_1(x) = x^4 u(x)$ . Då får vi

y' = x^4 u' + 4x^3 u, \quad y'' = x^4 u'' + 8x^3 u' + 12x^2 u.

Om vi substituerar in dessa beräkningar i ekvationen så får vi

x ^ {2} y ^ {\prime \prime} - 7 x y ^ {\prime} + 16 y = x ^ {6} u ^ {\prime \prime} + 8 x ^ {5} u ^ {\prime} + 12 x ^ {4} u - 7 x ^ {5} u ^ {\prime} - 28 x ^ {4} u + 16 x ^ {4} u = x ^ {6} u ^ {\prime \prime} + x ^ {5} u ^ {\prime}.

Eftersom vi är intresserade av fallet $x > 0$ så uppfyller alltså $y$ ekvationen om och endast om

u ^ {\prime \prime} + \frac {1}{x} u ^ {\prime} = 0.

Om vi inför $w = u'$ så tar ekvationen formen

w ^ {\prime} + \frac {1}{x} w = 0.

Detta är en första ordningens linjär ekvation som vi kan lösa med hjälp av en integrerande faktor. Om $P(x) = 1 / x$ så ges en integrerande faktor i detta fall av $e^{R(x)}$ där $R$ är en primitiv funktion till $P$ . Eftersom $x > 0$ kan vi välja $R(x) = \ln x$ . Därmed blir en integrerande faktor $e^{R(x)} = x$ . Beräkna

\frac {d}{d x} (x w) = x w ^ {\prime} + w = x \left(w ^ {\prime} + \frac {1}{x} w\right).

Alltså är ekvationen ekvivalent med kravet att $xw$ är lika med en konstant, säg $c$ . Alltså har vi $u'(x) = w(x) = c / x$ . Denna likhet kan integreras till $u(x) = c\ln x + b$ , varav

y (x) = c x ^ {4} \ln x + b x ^ {4}.

Vi får en ny lösning $y_{2}(x) = x^{4}\ln x$ genom att låta $c = 1$ och $b = 0$ . För att visa att $y_{1}$ och $y_{2}$ är en fundamentalmängd av lösningar beräknar vi Wronskianen:

W (y _ {1}, y _ {2}) = \left| \begin{array}{cc} x ^ {4} & x ^ {4} \ln x \\ 4 x ^ {3} & 4 x ^ {3} \ln x + x ^ {3} \end{array} \right| = x ^ {7}.

Eftersom vi är intresserade av fallet $x > 0$ så är Wronskianen skild ifrån noll, och $y_{1}$ , $y_{2}$ utgör en fundamentalmängd.

Svar: $y_{2}(x) = x^{4}\ln x$ är en andra lösning och den allmänna lösningen ges av

c _ {1} x ^ {4} + c _ {2} x ^ {4} \ln x

där $c_{1}$ och $c_{2}$ är reella konstanter.