Eftersom vågekvationen och randvillkoren alla är homogena linjära ekvationer så kommer en linjärkombination av lösningarna ovan också vara lösningar. Funktionen

u (x, t) = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} \left(A _ {n} \cos (k n t) + B _ {n} \sin (k n t)\right) \sin (n x),

där $A_{n}, B_{n}$ är konstanter är alltså en lösning till vågekvationen och randvillkoren. Vi ska bestämma konstanterna så att initialvillkoren också är uppfyllda.

Det första initialvillkoret säger att

0 = u (x, 0) = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} \left(A _ {n} \cos (0) + B _ {n} \sin (0)\right) \sin (n x) = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} A _ {n} \sin (n x)

och är alltså uppfyllt om alla $A_{n} = 0$ .

Det andra initialvillkoret säger att

f(x) = \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-knA_n \sin(knt) + knB_n \cos(knt)\right) \sin(nx)\big|_{t=0} = \sum_{n=0}^{\infty} knB_n \sin(nx).

Detta är uppfyllt om konstanterna $knB_n$ är Fourierkoefficienterna till serieutvecklingen av $f(x)$ som en sinus-serie. Vi utvidgar alltså $f(x)$ till intervallet $-\pi \leq x \leq \pi$ som en udda funktion. Då är dess Fourierkoefficienter för cosinustermerna $a_n = 0$ och koefficinterna för sinustermerna ges av

b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx.

Vi får

\begin{aligned} b_n &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x(\pi - x) \sin(nx) \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \pi x \sin(nx) \, dx - \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx = \{\text{integralformler (100), (102)}\} \\ &= 2 \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right]_{0}^{\pi} - \frac{2}{\pi} \left[ \frac{2 - n^2 x^2}{n^3} \cos(nx) + \frac{2x \sin(nx)}{n^2} \right]_{0}^{\pi} \\ &= 2 \left( -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} + \frac{\sin(n\pi)}{n^2} \right) - 2 \left( -\frac{0}{n} + \frac{\sin(0)}{n^2} \right) \\ &\quad - \frac{2}{\pi} \left( \frac{2 - n^2 \pi^2}{n^3} \cos(n\pi) + \frac{2\pi \sin(n\pi)}{n^2} \right) + \frac{2}{\pi} \left( \frac{2 - 0}{n^3} \cos(0) + \frac{0}{n^2} \right) \\ &= 2 \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} + 0 \right) - 2 (-0 + 0) \\ &\quad - \frac{2}{\pi} \left( \frac{2 - n^2 \pi^2}{n^3} (-1)^n + 0 \right) + \frac{2}{\pi} \left( \frac{2}{n^3} + 0 \right) \\ &= -\frac{2\pi (-1)^n}{n} - \frac{2(2 - n^2 \pi^2)}{\pi n^3} (-1)^n + \frac{4}{\pi n^3} \\ &= -\frac{2\pi (-1)^n}{n} - \frac{4}{\pi n^3} (-1)^n + \frac{2n^2 \pi^2}{\pi n^3} (-1)^n + \frac{4}{\pi n^3} \\ &= -\frac{2\pi}{n} (-1)^n + \frac{2\pi}{n} (-1)^n + \frac{4}{\pi n^3} (1 - (-1)^n) \\ &= \frac{4(1 - (-1)^n)}{\pi n^3}, \end{aligned}

så vi får en lösning om

knB_n = b_n = \frac{4(1 - (-1)^n)}{\pi n^3}

eller

B_n = \frac{4(1 - (-1)^n)}{\pi k n^4}.

Lösningen är alltså

u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \sin(knt) \sin(nx) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4(1 - (-1)^n)}{\pi k n^4} \sin(knt) \sin(nx).