Lösningsförslag. Fourierkoefficienterna i Fourierserien

\frac {a _ {0}}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left(a _ {n} \cos (n x) + b _ {n} \sin (n x)\right)

för $f(x)$ ges av

a _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \cos (n x) d x, \qquad b _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \sin (n x) d x.

(a)

\begin{array}{l} a _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \cos (n x) d x = \frac {1}{\pi} \int_ {0} ^ {\pi} x ^ {2} \cos (n x) d x \\ = \left\{\text {Integralformel} (96) \right\} = \frac {1}{\pi} \left[ \frac {2 x \cos (n x)}{n ^ {2}} + \frac {n ^ {2} x ^ {2} - 2}{n ^ {3}} \sin (n x) \right] _ {0} ^ {\pi} \\ = \frac {1}{\pi} \left(\frac {2 \pi \cos (n \pi)}{n ^ {2}} + \frac {n ^ {2} \pi^ {2} - 2}{n ^ {3}} \sin (n \pi)\right) - \left(\frac {2 \cdot 0}{n ^ {2}} + \frac {0 - 2}{n ^ {3}} \sin 0\right) \\ = \frac {1}{\pi} \left(\frac {2 \pi (- 1) ^ {n}}{n ^ {2}} + 0\right) - 0 = \frac {2 (- 1) ^ {n}}{n ^ {2}}. \\ \end{array}

Då vi delar med $n$ är denna beräkning giltig för $n \geq 1$ , men inte för $n = 0$ . Vi beräknar

a _ {0} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) d x = \frac {1}{\pi} \int_ {0} ^ {\pi} x ^ {2} d x = \frac {1}{\pi} \left[ \frac {x ^ {3}}{3} \right] _ {0} ^ {\pi} = \frac {1}{\pi} \frac {\pi^ {3}}{3} = \frac {\pi^ {2}}{3}.

För $n \geq 1$ har vi

\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx \\ &= \left\{\text{Integralformel (102)}\right\} = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{2 - n^2 x^2}{n^3} \cos(nx) + \frac{2x \sin(nx)}{n^2} \right]_0^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \frac{2 - n^2 \pi^2}{n^3} \cos(n\pi) + \frac{2\pi \sin(n\pi)}{n^2} \right) - \frac{1}{\pi} \left( \frac{2 - 0}{n^3} \cos 0 + \frac{2 \cdot 0}{n^2} \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \frac{2 - n^2 \pi^2}{n^3} (-1)^n + 0 \right) - \frac{1}{\pi} \left( \frac{2}{n^3} \cdot 1 + 0 \right) \\ &= \frac{2}{\pi n^3} \left( (-1)^n - 1 \right) - \frac{\pi}{n} (-1)^n. \end{aligned}

I punkten $x$ konvergerar Fourierserien mot $\frac{1}{2}(f(x+) + f(x-))$ där $f(x+)/f(x-)$ är höger-/vänstergränsvärdet i punkten. För funktionen $f_1(x)$ betyder det att Fourierserien konvergerar mot 0 på intervallet $-\pi < x < 0$ , mot $x^2$ på intervallet $0 \leq x < \pi$ , och mot $\frac{1}{2}(0 + \pi^2) = \pi^2/2$ i punkten $x = \pi$ .