Lösningsförslag. Lösningen ges av projektionen av funktionen $H(x)$ på delrummet $V$ . Om $\psi_0, \psi_1, \psi_2$ är ortogonala vektorer som spänner upp $V$ så ges denna projektion av

f(x) = \frac{\langle H(x), \psi_0(x) \rangle}{\|\psi_0\|^2} \psi_0 + \frac{\langle H(x), \psi_1(x) \rangle}{\|\psi_1\|^2} \psi_1 + \frac{\langle H(x), \psi_2(x) \rangle}{\|\psi_2\|^2} \psi_2.

För att hitta en ortogonal bas för $V$ sätter vi $\psi_0(x) = \phi_0(x) = 1$ och enligt Gram-Schmidt,

\psi_1(x) = \phi_1(x) - \frac{\langle \phi_1(x), \psi_0(x) \rangle}{\|\psi_0\|^2} \psi_0(x) = x - \frac{\int_{-1}^{1} x \cdot 1\,dx}{\int_{-1}^{1} 1^2\,dx} \cdot 1 = x - \frac{[x^2/2]_{-1}^1}{[x]_{-1}^1} = x,

samt

\begin{aligned} \psi_2(x) &= \phi_2(x) - \frac{\langle \phi_2(x), \psi_0(x) \rangle}{\|\psi_0\|^2} \psi_0(x) - \frac{\langle \phi_2(x), \psi_1(x) \rangle}{\|\psi_1\|^2} \psi_1(x) \\ &= x^2 - \frac{\int_{-1}^{1} x^2 \cdot 1\,dx}{\int_{-1}^{1} 1^2\,dx} \cdot 1 - \frac{\int_{-1}^{1} x^2 \cdot x\,dx}{\int_{-1}^{1} x^2\,dx} \cdot x \\ &= x^2 - \frac{[x^3/3]_{-1}^1}{[x]_{-1}^1} - \frac{[x^4/4]_{-1}^1}{[x^3]_{-1}^1} \cdot x = x^2 - \frac{2/3}{2} - 0 \cdot x = x^2 - \frac{1}{3}. \end{aligned}

Vi har nu

\begin{aligned} \langle H(x), \psi_0(x) \rangle &= \int_{-1}^{1} H(x) \cdot 1\,dx = \int_{0}^{1} 1\,dx = 1, \\ \|\psi_0\|^2 &= \int_{-1}^{1} 1^2\,dx = [x]_{-1}^1 = 2, \end{aligned}

och

\begin{aligned} \langle H(x), \psi_1(x) \rangle &= \int_{-1}^{1} H(x) x\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx = \left[ x^2/2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, \\ \|\psi_1\|^2 &= \int_{-1}^{1} x^2\,dx = \left[ x^3/3 \right]_{-1}^{1} = \frac{2}{3}, \end{aligned}

och

\langle H(x), \psi_2(x) \rangle = \int_{-1}^{1} H(x) (x^2 - 1/3)\,dx = \int_{0}^{1} (x^2 - 1/3)\,dx = \left[ x^3/3 - x/3 \right]_{0}^{1} = 0, \| \psi _ {2} \| ^ {2} = \int_ {- 1} ^ {1} (x ^ {2} - 1 / 3) ^ {2} d x = \int_ {- 1} ^ {1} (x ^ {4} - 2 x ^ {2} / 3 + 1 / 9) d x = \left[ x ^ {5} / 5 - 2 x ^ {3} / 9 + x / 9 \right] _ {- 1} ^ {1} = \frac {8}{45}.

Tillsammans ger detta

\begin{array}{l} f (x) = \frac {1}{2} \cdot 1 + \frac {1 / 2}{2 / 3} \cdot x + \frac {0}{8 / 45} \cdot \left(x ^ {2} - \frac {1}{3}\right) \\ = \frac {1}{2} + \frac {3}{4} x. \\ \end{array}