För heltal $k \neq n$ har vi att

\begin{array}{l} \langle e ^ {i k x}, e ^ {i n x} \rangle = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e ^ {i k x} \overline{e^{i n x}} \, dx = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e ^ {i k x} e ^ {- i n x} \, dx = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e ^ {i (k - n) x} \, dx \\ = \frac {1}{2 \pi} \left[ \frac {1}{i (k - n)} e ^ {i (k - n) x} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac {1}{2 \pi} \frac {1}{i (k - n)} \left(e ^ {i (k - n) \pi} - e ^ {- i (k - n) \pi}\right) \\ = \frac {1}{2 \pi} \frac {1}{i (k - n)} \left((- 1) ^ {(k - n)} - (- 1) ^ {- (k - n)}\right) = 0, \end{array}

och för alla heltal $n$ gäller

\langle e ^ {i n x}, e ^ {i n x} \rangle = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e ^ {i n x} \overline{e^{i n x}} \, dx = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e ^ {i n x} e ^ {- i n x} \, dx = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = \frac {1}{2 \pi} 2 \pi = 1,

vilket visar att funktionerna $e^{inx}$ , $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ , är ett ortonormalt system. Fourierkoefficienterna för en funktion $f \in E$ ges av

c _ {n} = \langle f, e ^ {i n x} \rangle = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f (x) \overline{e^{i n x}} \, dx = \frac {1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f (x) e ^ {- i n x} \, dx.