Eftersom $y(x)$ är absolutintegrerbar kan vi beräkna dess Fouriertransform

Y(\omega) = \mathcal{F}[y(x)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} y(x) e^{-i\omega x} dx.

Fouriertransformationen $Y(\omega)$ uppfyller den Fouriertransformerade ekvationen

\begin{array}{l} 0 = \mathcal{F}[0] \\ = \mathcal{F}[y''(x) + x y'(x) + y(x)] \\ = \mathcal{F}[y''(x)] + \mathcal{F}[x y'(x)] + \mathcal{F}[y(x)] \\ = (i\omega)^2 \mathcal{F}[y(x)] + i \frac{d}{d\omega} \mathcal{F}[y'(x)] + \mathcal{F}[y(x)] \\ = -\omega^2 \mathcal{F}[y(x)] + i \frac{d}{d\omega} (i\omega \mathcal{F}[y(x)]) + \mathcal{F}[y(x)] \\ = -\omega^2 Y(\omega) - \frac{d}{d\omega} (\omega Y(\omega)) + Y(\omega) \\ = -\omega^2 Y(\omega) - \omega Y'(\omega) - Y(\omega) + Y(\omega) \\ = -\omega^2 Y(\omega) - \omega Y'(\omega). \end{array}

Vi skriver om detta som

Y'(\omega) + \omega Y(\omega) = 0.

Detta är en första ordningens linjär differentialekvation för $Y(\omega)$ som vi löser genom att multiplicera med den integrerande faktorn $e^{\int \omega d\omega} = e^{\omega^2 / 2}$ . Detta ger

0 = e^{\omega^2 / 2} \left(Y'(\omega) + \omega Y(\omega)\right) = e^{\omega^2 / 2} Y'(\omega) + \omega e^{\omega^2 / 2} Y(\omega) = \left(e^{\omega^2 / 2} Y(\omega)\right)',

vilket integreras till

e^{\omega^2 / 2} Y(\omega) = C

eller

Y(\omega) = C e^{-\omega^2 / 2}

där $C$ är en konstant. Enligt formel (vi) har vi

\mathcal{F}[e^{-x^2}] (\sqrt{2}\omega) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{(\sqrt{2}\omega)^2}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{\omega^2}{2}},

så enligt formel (ii) med $a = 1/\sqrt{2}$ , $b = 0$ , är

\mathcal{F}[e^{-x^2 / 2}] (\omega) = \mathcal{F}[e^{-(x / \sqrt{2})^2}] (\omega) = \sqrt{2} \mathcal{F}[e^{-x^2}] (\sqrt{2}\omega) = \sqrt{2} \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{\omega^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\omega^2}{2}}.

Vi har alltså

Y(\omega) = C e^{-\omega^2 / 2} = \mathcal{F} [C \sqrt{2\pi} e^{-x^2 / 2}](\omega),

eller

y(x) = C \sqrt{2\pi} e^{-x^2 / 2}.

Eftersom $y(0) = 1$ så har vi

1 = y(0) = C \sqrt{2\pi} e^0 = C \sqrt{2\pi}

och

C = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.

Lösningen är alltså

y(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2\pi} e^{-x^2 / 2} = e^{-x^2 / 2}.