Lösningsförslag. Fourierkoefficienterna i Fourierserien

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)

för $f(x)$ ges av

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx.

(a)

\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \pi \cos(nx) \, dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \cos(nx) \, dx \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \pi \cos(nx) \, dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (-x) \cos(nx) \, dx \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \, dx - \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx = \{\text{Integralformler (67), (93)}\} \\ &= \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n^2} \cos(nx) + \frac{x}{n} \sin(nx) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{n} (\sin(n\pi) - \sin(-n\pi)) \\ &\quad - \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \cos(n\pi) + \frac{\pi}{n} \sin(n\pi) \right) + \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \cos(n\cdot0) + \frac{0}{n} \sin(n\cdot0) \right) \\ &= 0 - \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} (-1)^n + 0 \right) + \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \cdot 1 + 0 \right) = \frac{1}{\pi n^2} (1 - (-1)^n). \end{aligned}

Eftersom vi delar med $n$ är denna beräkning giltig för $n \geq 1$ , men inte för $n = 0$ . Vi beräknar

\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \pi \, dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \, dx \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \pi \, dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (-x) \, dx \\ &= 2\pi - \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}. \end{aligned}

För $n \geq 1$ har vi

\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \pi \sin(nx) \, dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) \, dx \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \pi \sin(nx) \, dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (-x) \sin(nx) \, dx \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \, dx - \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \{\text{Integralformler (63), (100)}\} \\ &= \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n^2} \sin(nx) - \frac{x}{n} \cos(nx) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{n} (\cos(n\pi) - \cos(-n\pi)) \\ &\quad - \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \sin(n\pi) - \frac{\pi}{n} \cos(n\pi) \right) + \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \sin(n\cdot0) - \frac{0}{n} \cos(n\cdot0) \right) \\ &= 0 - \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \cdot 0 - \frac{\pi}{n} (-1)^n \right) + \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n^2} \cdot 0 - \frac{0}{n} \cdot 1 \right) = \frac{(-1)^n}{n}. \end{aligned}

I punkten $x$ konvergerar Fourierserien mot $\frac{1}{2}(f(x+) + f(x-))$ där $f(x+)/f(x-)$ är höger-/vänstergränsvärdet i punkten. För funktionen $f_1(x)$ betyder det att Fourierserien konvergerar mot $f_1(x)$ på intervallet $-\pi < x < \pi$ , och mot $\frac{1}{2}(f(-\pi) + f(\pi)) = \frac{1}{2}(\pi + 0) = \frac{\pi}{2}$ i punkterna $x = \pm \pi$ .