Lösningsförslag. För separation av variabler gör vi ansatsen

u (x, t) = X (x) T (t).

Insatt i differentialekvationen ger detta

X (x) T ^ {\prime} (t) = X ^ {\prime \prime} (x) T (t)

eller

\frac {T ^ {\prime} (t)}{T (t)} = \frac {X ^ {\prime \prime} (x)}{X (x)}.

Eftersom sidorna i denna likhet beror på olika variabler måste de båda vara konstanta, alltså

\frac {T ^ {\prime} (t)}{T (t)} = \lambda = \frac {X ^ {\prime \prime} (x)}{X (x)}.

för någon konstant $\lambda$ .

Vi börjar med att lösa den andra av dessa ekvationer

X ^ {\prime \prime} (x) = \lambda X (x).

Randvillkoren $\frac{\partial u}{\partial x} (0,t) = 0$ och $\frac{\partial u}{\partial x} (\pi ,t) = 0$ ger oss att

X ^ {\prime} (0) T (t) = X ^ {\prime} (\pi) T (t) = 0.

Eftersom $T(t) \neq 0$ (så att inte $u(x,t) = 0$ ) ger detta

X ^ {\prime} (0) = X ^ {\prime} (\pi) = 0.

Vi får tre fall beroende på tecknet av konstanten $\lambda$ .

Om $\lambda > 0$ sätter vi $\lambda = \alpha^2$ , $\alpha > 0$ , och får den allmänna lösningen

X (x) = A e ^ {\alpha x} + B e ^ {- \alpha x}

med

X ^ {\prime} (x) = \alpha \left(A e ^ {\alpha x} - B e ^ {- \alpha x}\right).

För att randvillkoren ska vara uppfyllda behöver vi

0 = X ^ {\prime} (0) = \alpha (A - B) 0 = X ^ {\prime} (\pi) = \alpha \left(A e ^ {\alpha \pi} - B e ^ {- \alpha \pi}\right)

Eftersom $\alpha \neq 0$ har detta bara lösning $A = B = 0$ , så det finns ingen icke-trivial lösning i detta fall.

Om $\lambda = 0$ har vi $X''(x) = 0$ med den allmänna lösningen

X(x) = A x + B

med

X'(x) = A.

Randvillkoren är uppfyllda om

0 = X'(0) = A 0 = X'(\pi) = A

det vill säga om $A = 0$ . För fallet $\lambda = 0$ har vi hittat den icke-triviala lösningen

X(x) = B_0.

Då $\lambda = 0$ uppfyller motsvarande lösning $T(t)$ ekvationen $T'(t) = 0$ , så vi kan välja $T(t) = 1$ och får en lösning

u_0(x, t) = B_0

till värmeledningsproblemet med randvillkor.

Om $\lambda < 0$ sätter vi $\lambda = -\alpha^2$ , $\alpha > 0$ , och får den allmänna lösningen

X(x) = A \cos(\alpha x) + B \sin(\alpha x)

med

X'(x) = \alpha \left(-A \sin(\alpha x) + B \cos(\alpha x)\right).

I detta fall är randvillkoren uppfyllda om

0 = X'(0) = \alpha \left(-A \cdot 0 + B \cdot 1\right) = \alpha B 0 = X'(\pi) = \alpha \left(-A \sin(\alpha \pi) + B \cos(\alpha \pi)\right).

Vi måste alltså ha $B = 0$ och $0 = A \sin(\alpha \pi)$ . Om $A = 0$ får vi bara den triviala lösningen $u(x,t) = 0$ . För att vi ska få en icke-trivial lösning måste alltså $0 = \sin(\alpha \pi)$ , så $\alpha > 0$ måste vara ett icke-negativt heltal. Vi har hittat lösningarna

X_n(x) = A_n \cos(nx)

för $n = 1,2,3,\ldots$ . Motsvarande lösningar för $T(t)$ är

T(t) = T_n(t) = e^{-n^2 t}

då $\lambda = -\alpha^2 = -n^2$ . Tillsammans har vi alltså lösningarna

u_n(x, t) = A_n e^{-n^2 t} \cos(nx), \quad n = 1, 2, 3, \ldots

som uppfyller differentialekvationen och randvillkoren.

Eftersom både differentialekvation och dess randvillkor är linjära så är linjärkombinationen

u(x, t) = B_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-n^2 t} \cos(nx)

också en lösning till differentialekvationen och randvillkoren.

Vi ska nu välja konstanterna $B_0$ och $A_1, A_2, A_3, \ldots$ så att

u(x, 0) = B_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(nx) = f(x).

Konstanterna ska alltså väljas som koefficienterna i en Fourierserieutveckling,

B_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-n^2 t} \cos(nx) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-n^2 t} \cos(nx) = f(x), \quad 0 \leq x \leq \pi.

Detta är en Fourier-cosinus-serie på intervallet $0 \leq x \leq \pi$ . Koefficienterna ges av

a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^\pi 1 \, dx = \frac{2}{\pi} \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = 1

och

a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^\pi 1 \cdot \cos(nx) \, dx

för $n \geq 1$ (denna integral behöver inte beräknas).

Detta ger lösningen till initialvärdesproblemet

u(x,t) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty A_n e^{-n^2 t} \cos(nx).

För det efterfrågade gränsvärdet har vi att alla termer går mot noll då $t \to \infty$ , förutom den första konstanta termen. Vi har alltså

\lim_{t \to \infty} u(x,t) = \frac{1}{2}.