Låt $S$ vara den enkelt sammanhängande delmängd av enhetssfärens övre del som omsluts av $C$ . Låt $\hat{\mathbf{n}} = (x,y,z)$ vara den utåtriktade normalvektorn till enhetssfären. Enligt Stokes sats har vi

\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \iint_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS.

En räkning visar att

\operatorname{curl} \mathbf{F} = (-xz, -yz, z^2) \quad \text{så} \quad \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} = z(z^2 - x^2 - y^2).

Eftersom $x^2 + y^2 = 1 - z^2$ på $S$ , så finner vi att

\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \iint_{S} z(2z^2 - 1) \, dS.

För $(x,y,z)$ på övre delen av enhetssfären har vi $z(2z^2 - 1) > 0$ om och endast om $z > 1/\sqrt{2}$ . Alltså är det största värdet som $\int_{S} z(2z^2 - 1) \, dS$ kan anta

M_{+} := \iint_{S_{+}} z(2z^2 - 1) \, dS,

där $S_{+}$ är den del av enhetssfären på vilken $z \geq 1/\sqrt{2}$ . Stokes sats ger att

M_{+} = \iint_{S_{+}} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS = \int_{\partial S_{+}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \iint_{S_{+}'} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS,

där $S_{+}' = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 < 1/2, z = 1/\sqrt{2}\}$ . Vi finner att

M_{+} = \iint_{S_{+}'} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot (0, 0, 1) \, dS = \iint_{\{x^2 + y^2 < 1/2\}} \frac{1}{2} \, dx \, dy = \frac{\pi}{4}.