Vi väljer $\epsilon > 0$ sådan att cirkeln $C = \{x^{2} + y^{2} = \epsilon^{2}\}$ inte skär ellipsen $E$ . Detta är möjligt då $E$ är kompakt, och ej går genom $(0,0)$ . Vi låter $R$ vara området innanför $E$ och utanför $C$ . Låt $C_{-}$ vara kurvan $C$ med medurs orientering. Då är kurvorna $C_{-}$ och $E$ den positivt orienterade randen till $R$ . Vektorfältet $\mathbf{F} = (P,Q)$ är rotationsfritt, det vill säga att $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ . Greens Sats ger därmed att

0 = \int_ {E} \mathbf {F} \cdot d \mathbf {r} + \int_ {C _ {-}} \mathbf {F} \cdot d \mathbf {r}.

Låt nu $C_{+}$ vara kurvan $C$ med moturs orientering. Vi har att $\int_{C_{+}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{r} = -\int_{C_{-}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{r}$ . Detta betyder att den sökta integralen $\int_{E}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ är lika med

\int_ {C _ {+}} \mathbf {F} \cdot d \mathbf {r} = \int_ {0} ^ {2 \pi} (\frac {- \epsilon \sin (t)}{\epsilon^ {2}}, \frac {\epsilon \cos (t)}{\epsilon^ {2}}) (- \epsilon \sin (t), \epsilon \cos (t)) d t = 2 \pi .