Lösning. Både integrationsområdet och integranden förenklas om man byter koordinater från $(u,v,w)$ till $(x,y,z)$ . Integralen blir

I = \iiint_{E} \frac {d u d v d w}{\sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}} = \iiint_{K} d x d y d z \frac {\partial (u , v , w)}{\partial (x , y , z)} \cdot \frac {1}{x ^ {2} + y ^ {2}},

eftersom

u ^ {2} + v ^ {2} = \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) ^ {2}.

Jacobi-matrisen $J$ är

J = \left( \begin{array}{c c c} \frac {\partial u}{\partial x} & \frac {\partial u}{\partial y} & \frac {\partial u}{\partial z} \\ \frac {\partial v}{\partial x} & \frac {\partial v}{\partial y} & \frac {\partial v}{\partial z} \\ \frac {\partial w}{\partial x} & \frac {\partial w}{\partial y} & \frac {\partial w}{\partial z} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} 2 x & - 2 y & 0 \\ 2 y & 2 x & 0 \\ 0 & 0 & 3 z ^ {2} \end{array} \right).

Jacobi-determinanten för koordinatbytet är därför

\frac {\partial (u , v , w)}{\partial (x , y , z)} = \det J = 12 z ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}).

Sätt in detta i integralen ger

I = \iiint_{K} 12 z ^ {2} d x d y d z.

Området $K$ begränsas delvis av två sfärer, och vi byter därför till sfäriska koordinater $(z = R\cos \phi)$ . Eftersom $z^2$ är jämn och området $K$ är symmetriskt i $z$ , erhåller vi

I = 2 \cdot \int_{1}^{2} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} R ^ {2} \sin \phi \cdot 12 \cdot R ^ {2} \cos^ {2} \phi d \phi d \theta d R = \frac {124\pi}{5}.