Solution. Låt triangelns hörnpunkter vara $(x,0)$ , $(0,y)$ och $(z,8 - 2z^2)$ . Där $0 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 8$ och $0 \leq z \leq 2$ för att triangeln ska vara inuti det tillåtna området $D$ . Triangelns mittpunkt ges då av

\left(\frac {x + 0 + z}{3}, \frac {0 + y + 8 - 2 z ^ {2}}{3}\right) = \left(*, \frac {7}{3}\right) \Rightarrow y = 2 z ^ {2} - 1

och arean är halva värdet av determinanten där kantvektorerna är rader, med andra ord

\frac {1}{2} \left| \begin{array}{cc} z - x & 8 - 2 z ^ {2} \\ - x & y \end{array} \right| = \frac {1}{2} \big (9 x - x y + y z - 2 x z ^ {2} \big).

Genom att ersätta $y$ med $2z^2 - 1$ i areaformeln kan problemet formuleras: Maximera

A (x, z) = \frac {9}{2} x - \frac {1}{2} z - 2 x z ^ {2} + z ^ {3}

över rektangeln $0 \leq x \leq 2$ , $1 / \sqrt{2} \leq z \leq 2$ . (Undre gränsen för $z$ kommer från villkoret $0 \leq y \leq 8$ .)

Determinanten av Hessianen till $A(x,z)$ är

\det \left( \begin{array}{cc} A_{xx}^{\prime \prime} & A_{zx}^{\prime \prime} \\ A_{xz}^{\prime \prime} & A_{zz}^{\prime \prime} \end{array} \right) = \left| \begin{array}{cc} 0 & -4z \\ -4z & -4x + 6z \end{array} \right| = -16z^2 < 0

och det medför att Hessianen har två egenvärden med olika tecken. Den kvadratiska formen i Taylorutecklingen av $A(x,z)$ kring en inre punkt är därmed indefinit och inre stationära punkter, om de finns, måste vara sadelpunkter. Fokus kan alltså läggas på att söka efter maxvärdet på randen till rektangeln. Undersök först randlinjerna.

$x = 0$ : På denna randlinje är $A(0,z) = -\frac{1}{2} z + z^3$ . Sök max genom att sätta derivatan lika med noll,

\frac {d}{d z} A (0, z) \equiv - \frac {1}{2} + 3 z ^ {2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad z = \pm \frac {1}{6} \quad (\text{utanför rektangeln}).

$x = 2$ : På denna randlinje är $A(2,z) = 9 - \frac{1}{2} z - 4z^2 + z^3$ . Sök max genom att sätta derivatan lika med noll,

\frac {d}{d z} A (2, z) \equiv - \frac {1}{2} - 8 z + 3 z ^ {2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad z = \frac {8}{6} \pm \frac {\sqrt {7 0}}{6} \quad (\text{utanför rektangeln}).

$z = 1 / \sqrt{2}$ och $z = 2$ : För fixt värde på $z$ är $A(x, \cdot)$ en linjär funktion i $x$ och antar därför sitt maxvärde på randen till intervallet (dvs. i en hörnpunkt).

Slutsatsen är att maxvärdet måste antas i en av hörnpunkterna till rektangeln. Eftersom

A(0, 1/\sqrt{2}) = 0, \quad A(0, 2) = 7, \quad A(2, 1/\sqrt{2}) = 7, \quad A(2, 2) = 0.

är den största triangeln antingen den med hörn i $(0,0)$ , $(0,7)$ och $(2,0)$ , eller den med hörn i $(2,0)$ , $(0,1)$ och $(1/\sqrt{2},7)$ . Arean är i dessa fall 7.