Den nya ägaren vill maximera sin totalvinst

\pi(Q_{A}, Q_{B}) = \pi_{A}(Q_{A}) + \pi_{B}(Q_{B}) = 3Q_{A}(100 - Q_{A}) + 7Q_{B}(80 - Q_{B})

under förutsättningen att $Q_{B} \geq Q_{A} \geq 0$ .

Området över giltiga utflöden $Q_A$ och $Q_B$ är utritade i figuren nedan.

Eftersom $\pi(Q_A, Q_B) \to -\infty$ när antingen $Q_A \to \infty$ eller $Q_B \to \infty$ så antar $\pi(Q_A, Q_B)$ ett maximalt värde antingen i det inre av området eller på randen av området.

Om maximum antas i en inre punkt av området så måste det ske i en kritisk punkt där

\frac{\partial \pi}{\partial Q_A} = \frac{\partial \pi}{\partial Q_B} = 0,

men vi har i deluppgift a sett att $\pi_A'(Q_A) = 0$ och $\pi_B'(Q_B) = 0$ leder till lösningen $Q_A = 50$ och $Q_B = 40$ , vilket ligger utanför det tillåtna området av utflöden.

Den återstående möjligheten är att maximum antas på någon av randlinjerna $Q_A = 0, Q_B \geq 0$ eller $Q_A = Q_B \geq 0$ .

När $Q_A = 0$ blir totalvinsten $\pi(0, Q_B) = \pi_B(Q_B)$ som (enligt deluppgift a) har maximum när $Q_B = 40$ och då är $\pi(0, 40) = 7 \cdot 40 \cdot 40 = 11200$ .

När $Q_A = Q_B = Q \geq 0$ blir totalvinsten $\pi(Q, Q) = 3Q(100 - Q) + 7Q(80 - Q) = 860Q - 10Q^2$ . I ändpunkten $Q = 0$ är $\pi(0, 0) = 0$ så största värde antas där

\frac{d}{dQ} \pi(Q, Q) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 860 - 20Q = 0 \quad \Leftrightarrow \quad Q = 43.

(Eftersom andraderivatan är lika med $-20$ är detta också ett lokalt maximum.) Vinsten i detta fall blir $\pi(43, 43) = 18490$ som är det maximala värdet.