Solution. Densiteten beror av avståndet $r$ från planetens mittpunkt och ges enligt uppgiftstexten av

\varrho(r) = \begin{cases} a, & \text{om } 0 \leq r \leq R_i, \\ b - \dfrac{b - c}{R_y - R_i}(r - R_i), & \text{om } R_i < r \leq R_y, \end{cases}

där

R_i = \text{radie av inre kärnan}, R_y = \text{planetens radie}.

Planetens totala massa $m$ ges av $\iiint_K \varrho \, dV$ och beräknas i sfäriska koordinater

\begin{aligned} m &= \int_0^{R_y} \varrho(r) r^2 \, dr \int_0^\pi \sin \varphi \, d\varphi \int_0^{2\pi} d\theta \\ &= 4\pi \int_0^{R_y} \varrho(r) r^2 \, dr \\ &= 4\pi \int_0^{R_i} a r^2 \, dr + 4\pi \int_{R_i}^{R_y} \left(b - \dfrac{b - c}{R_y - R_i}(r - R_i)\right) r^2 \, dr \\ &= \frac{4\pi a R_i^3}{3} + \frac{4\pi b (R_y^3 - R_i^3)}{3} - \frac{\pi (b - c)}{R_y - R_i} (R_y^4 - R_i^4) + \frac{4\pi (b - c)}{3 (R_y - R_i)} R_i (R_y^3 - R_i^3). \end{aligned}

Planetens medeldensitet är

\ddot{\varrho} = \frac{m}{V} = \frac{3m}{4\pi R_y^3}.

Genom att sätta in uttrycket för $m$ och införa kvoten $k = R_i / R_y$ kan medeldensiteten förenklas till

\ddot{\varrho} = \left(a - \frac{3}{4}b - \frac{1}{4}c\right) k^3 + \frac{1}{4}(b - c) k^2 + \frac{1}{4}(b - c) k + \frac{1}{4}(b + 3c).

Med $k = \frac{1}{2}$ förenklas detta ytterligare till

\ddot{\varrho} = \frac{1}{8}a + \frac{11}{32}b + \frac{17}{32}c.

Svar: $\frac{1}{8}a + \frac{11}{32}b + \frac{17}{32}c$ kg/liter