Solution. Området $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 5$ är ett slutet klot centrerat kring origo med radie $\sqrt{5}$ och därmed en kompakt mängd (sluten och begränsad). Vidare är funktionen $f(x, y, z)$ ett polynom och därmed en kontinuerlig funktion. Från detta följer att $f$ antar ett största värde på området.

Eftersom $f$ är ett polynom är den differentierbar överallt och randen till området kan beskrivas i ekvationsformen $g(x,y,z) = 0$ , där $g(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5$ är en kontinuerligt deriverbar funktion, så antar $f$ sitt största värde i någon av följande typer av punkter:

(a) Inre kritiska punkter, dvs. där $\nabla f = (0,0,0)$ .

(b) Randpunkter där Lagranges villkor är uppfyllt, dvs. där $\{\nabla f, \nabla g\}$ är linjärt beroende. Vi undersöker båda dessa fall.

(a) Sätt gradienten av $f$ lika med nollvektorn,

\begin{array}{l} \nabla f = (f_{x}', f_{y}', f_{z}') = (2xy^{2}z, 2x^{2}yz, x^{2}y^{2}) = (0, 0, 0) \\ \Leftrightarrow \quad x = 0 \text{ eller } y = 0. \end{array}

För alla inre punkter där $x = 0$ eller $y = 0$ är $f = 0$ .

(b) För att ta fram de icke-singulära punkter på randen till klotet som uppfyller Lagranges villkor inför vi Lagrangefunktionen

L(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) - \lambda g(x, y, z) = x^{2}y^{2}z - \lambda (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5)

och sätter dess gradient $\nabla L = (L_x', L_y', L_z', L_\lambda')$ lika med nollvektorn, vilket ger ekvationssystemet

\left\{ \begin{array}{c} 2xy^{2}z = 2\lambda x \\ 2x^{2}yz = 2\lambda y \\ x^{2}y^{2} = 2\lambda z \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 2x(y^{2}z - \lambda) = 0 \\ 2y(x^{2}z - \lambda) = 0 \\ x^{2}y^{2} - 2\lambda z = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 \end{array} \right. \tag{*}

Från de två första ekvationerna i (*) får vi fyra fall att undersöka: (i) $x = y = 0$ , (ii) $x = 0$ , $\lambda = x^{2}z$ , (iii) $y = 0$ , $\lambda = y^{2}z$ , (iv) $\lambda = x^{2}z = y^{2}z$ . Fall (i), (ii) och (iii) leder till punkter där $x = 0$ eller $y = 0$ och då är $f = 0$ . Det fjärde fallet (iv) ger att

x^{2}z = y^{2}z \quad \Leftrightarrow \quad (x^{2} - y^{2})z = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x - y)(x + y)z = 0.

Antingen är $z = 0$ (men då är $f = 0$ ) eller så är $y = \pm x$ . När $y = \pm x$ är $\lambda = x^{2}z$ och de två sista ekvationerna i (*) ger att

\left\{ \begin{array}{c} x^{4} - 2x^{2}z^{2} = 0 \\ 2x^{2} + z^{2} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x^{2}(x^{2} - 2z^{2}) = 0 \\ 2x^{2} + z^{2} = 5 \end{array} \right.

Ignorerar vi fallet $x = 0$ (som ändå bara ger att $f = 0$ ) får vi att

\left\{ \begin{array}{l} x ^ {2} - 2 z ^ {2} = 0 \\ 2 x ^ {2} + z ^ {2} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x ^ {2} = 2 \\ z ^ {2} = 1 \end{array} \right.

Detta ger totalt åtta punkter $(\pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{2}, \pm 1)$ där

f (\pm \sqrt {2}, \pm \sqrt {2}, - 1) = - 4, f (\pm \sqrt {2}, \pm \sqrt {2}, + 1) = 4.

(Det finns inga singulära punkter på randen eftersom $\nabla g = (2x, 2y, 2z) = (0, 0, 0)$ endast i punkten $(0, 0, 0)$ , som inte är en randpunkt.)

Från denna utredning kan vi dra slutsatsen att funktionen $f$ antar det största värdet 4 på området $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 5$ .