Vi har vektorfältet $\mathbf{F} = (F_1, F_2)$ , där

F_1 = \frac{-y}{x^2 + y^2} F_2 = \frac{x}{x^2 + y^2}.

Det existerar en enkelt sammanhängande domän $D$ (som inte innehåller origo) sådan att kurvan $\mathcal{C}$ helt ligger i $D$ . Att villkoret

\frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial y}

är uppfyllt överallt utom i $(x,y) = (0,0)$ är därför ekvivalent med att en potential existerar på $D$ . Potentialen är vinkelfunktionen $\theta$ , där $0 < \theta < 2\pi$ , eftersom

F_1 = \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2} F_2 = \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}

överallt utom på $\theta = 0$ , d.v.s. $\mathbf{F} = \nabla \theta$ . Detta kan visas genom att partialderivera $x = r \cos \theta$ och $y = r \sin \theta$ . Detta ger

\int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{\mathcal{C}} \nabla \theta \cdot d\mathbf{r} = \theta(P_6) - \theta(P_2) = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi.

Alternativt: Kurvan $\gamma$ är halvcirkeln som börjar i $P_2$ och slutar i $P_6$ . Området $D$ som begränsas av $C$ och $\gamma$ är enkelt sammanhängande, och vektorfältet $\mathbf{F} = (F_1, F_2)$ är sådan att $\frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial y}$ . Detta betyder att $\mathbf{F}$ är konservativt på $D$ , och speciellt vill

\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\sin t, \cos t) \cdot (-\sin t, \cos t) dt = \pi.