Vi har att divergensen av vektorfältet är

\begin{array}{l} \operatorname{div} \boldsymbol{F} = \frac{\partial}{\partial x} (x - x^3) + \frac{\partial}{\partial y} (y - 3yz^2) + \frac{\partial}{\partial z} (z - 3y^2z) \\ = 1 - 3x^2 + 1 - 3z^2 + 1 - 3y^2 \\ = 3(1 - x^2 - y^2 - z^2). \end{array}

Eftersom vektorfältets komponenter är polynom och vi antar att ytan $S$ är en begränsad sluten $C^1$ -yta så ger Gauss sats att

\begin{array}{l} \iint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{N} \, dS = \iiint_{K} \operatorname{div} \boldsymbol{F} \, dx\,dy\,dz \\ = \iiint_{K} 3(1 - x^2 - y^2 - z^2) \, dx\,dy\,dz \end{array}

där $K$ är den kropp som ytan $S$ innesluter.

Trippelintegralen blir så stor som möjligt när $K$ är det område där integranden är icke-negativ,

1 - x^2 - y^2 - z^2 \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + y^2 + z^2 \leq 1,

alltså $K$ är klotet med radie 1 och medelpunkt i origo. I detta fall är ytan $S$ enhetssfären med medelpunkt i origo.

Vi beräknar trippelintegralen genom att gå över till rymdpolära koordinater,

\begin{array}{l} \iiint_{K} 3(1 - x^{2} - y^{2} - z^{2}) \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{1} 3(1 - r^{2}) r^{2} \sin \theta \, dr \right) d\theta \right) d\phi \\ = \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \left( 3 \sin \theta \left[ \frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5} \right]_{0}^{1} \right) d\theta \right) d\phi \\ = \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \frac{2}{5} \sin \theta \, d\theta \right) d\phi \\ = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{2}{5} \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\pi} \right) d\phi \\ = \int_{0}^{2\pi} \frac{4}{5} \, d\phi \\ = \frac{8\pi}{5}. \end{array}