Funktionen $f(x,y)$ är kontinuerligt derivbar i $(x,y) = (0,0)$ om $f_{x}^{\prime}(x,y)$ och $f_{y}^{\prime}(x,y)$ är kontinuerliga i $(x,y) = (0,0)$ , dvs. om gränsvärdena

\lim _ {(x, y) \to (0, 0)} f _ {x} ^ {\prime} (x, y) \quad \text{och} \quad \lim _ {(x, y) \to (0, 0)} f _ {y} ^ {\prime} (x, y)

båda existerar och är lika med $f_{x}^{\prime}(0,0)$ resp. $f_{y}^{\prime}(0,0)$ . När $(x,y) \neq (0,0)$ är

f _ {x} ^ {\prime} (x, y) = \frac {3 x ^ {2} \cdot (x ^ {2} + y ^ {2}) - (x ^ {3} + 6 y ^ {3}) \cdot 2 x}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}} = \frac {x ^ {4} + 3 x ^ {2} y ^ {2} - 12 x y ^ {3}}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}} = \frac {x (x ^ {3} + 3 x y ^ {2} - 12 y ^ {3})}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}

och då framgår det att $f_{x}^{\prime}(x,y) \to 1$ när $x \to 0$ och $y = 0$ medan $f_{x}^{\prime}(x,y) \to 0$ när $x = 0$ och $y \to 0$ . Av detta går det att dra slutsatsen att $f_{x}^{\prime}(x,y)$ inte är kontinuerlig i $(x,y) = (0,0)$ och därmed att $f(x,y)$ inte är kontinuerligt derivbar där.

Svar: $f(x,y)$ är inte kontinuerligt derivbar i $(x,y) = (0,0)$ .