Om vi orienterar kurvan $C$ moturs, sätt ovanifrån, då ger Stokes sats att den sökta integralen

\iint_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \bullet \mathbf{N} \, dS = \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

För att beräkna linjeintegralen kan vi antingen använda Stokes sats igen, eller direkt parametrisering.

Alt. 1) Med Stokes Sats: Låt nu $D$ vara enhetsdisken $x^{2} + y^{2} = 1$ placerad i $\mathbb{R}^3$ sådan att randen till disken $D$ är precis kurvan $C$ . Disken har enhetsnormalfält $\mathbf{k} = (0,0,1)$ . Stokes Sats ger att

\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{D} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \mathbf{k} \, dS.

Tredje komponenten av vektorfältet curl $\mathbf{F}$ är

\partial_{x}(F_{2}) - \partial_{y}(F_{1}) = 2 \sin^{2}(z) + 2 \cos^{2}(z) = 2.

Därmed har vi att

\iint_{D} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \mathbf{k} \, dS = \iint_{D} 2 dS = 2\pi.

Alt. 2) Parametrisering: På kurvan $C$ har vi $x^{2} + y^{2} = 1$ , dvs $z^{2} = R^{2} - 1$ , och vi får $\mathbf{r} = (\cos t, \sin t, \sqrt{R^{2} - 1})$ , som ger $d\mathbf{r} = (-\sin t, \cos t, 0) \, dt$ och därmed

\begin{array}{l} \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} (-2y \cos^{2}(z), 2x \sin^{2}(z), \cos^{2}(xz) y^{2} + \sin(y)) \cdot (-\sin t, \cos t, 0) \, dt = \\ \int_{0}^{2\pi} \left[ (-2 \sin t \cos^{2} z (-\sin t) + (2 \cos t \sin^{2} z (\cos t) + 0) \right] dt \\ = 2 \int_{0}^{2\pi} \left[ \sin^{2} t \cos^{2} z + \cos^{2} t \sin^{2} z \right] dt \\ = 2 \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1 - \cos 2t}{2} \cos^{2} z + \frac{1 + \sin 2t}{2} \sin^{2} z \right] dt = 2\pi (\cos^{2} z + \sin^{2} z) = 2\pi. \end{array}