Lösningsförslag. Pga symmetri får vi

\begin{array}{l} \iint_{\mathcal{S}} x^{4} dS = \iint_{\mathcal{S}} y^{4} dS = \iint_{\mathcal{S}} z^{4} dS = \frac{1}{3} \iint_{\mathcal{S}} x^{4} + y^{4} + z^{4} dS \\ = \frac{1}{3} \iint_{\mathcal{S}} (x^{3}, y^{3}, z^{3}) \cdot (x, y, z) dS = \frac{a}{3} \iint_{\mathcal{S}} (x^{3}, y^{3}, z^{3}) \cdot \hat{\mathbf{N}} dS. \end{array}

Vi använder nu divergenssatsen och integralen blir

\frac{a}{3} \iiint_{x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}} 3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) dV = a \int_{0}^{a} R^{2} R^{2} dR \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin \phi d\phi = 4\pi a^{6}/5.

Alt. lösning Man kan använda sfäriska koordinater och successiv integrera termerna

\iint_{\mathcal{S}} x^{4} dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} a^{4} \cos^{4} \theta \sin^{4} \phi \sin \phi a^{2} d\theta d\phi = a^{6} \int_{0}^{2\pi} \cos^{4} \theta d\theta \int_{0}^{\pi} \sin^{5} \phi d\phi = \ldots = a^{6} \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{16}{15} = \frac{4a^{6}\pi}{5} =

Använder man sig av denna metod måste man kunna mins en ad dessa formler:

\begin{array}{l} \sin^{5} \phi = (5/8) \sin \phi - (5/16) \sin(3\phi) + (1/16) \sin(5\phi) \\ \sin^{5} \phi = (1 - \cos^{2} \phi)^{2} \sin \phi \end{array}

som kan integreas. Integralen $\int_{0}^{\pi} \sin^{5} \phi d\phi$ kan beräknas

\begin{array}{l} \int_{0}^{\pi} \sin^{5} \phi d\phi = \int_{0}^{\pi} \sin^{4} \phi \sin \phi d\phi = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos^{2} \phi)^{2} \sin \phi d\phi = \left\{ \begin{array}{l} u = \cos \phi \\ du = -\sin \phi \\ u : 1 \rightarrow -1 \end{array} \right. \\ = \int_{-1}^{1} (1 - u^{2})^{2} du = \frac{16}{15} \end{array}

I båda fallen har vi använt sfäriska koordinater enligt

x = a \cos \theta \sin \phi, \qquad y = a \sin \theta \sin \phi, \qquad z = a \cos \phi

med

0 \leq \theta < 2\pi, \quad 0 \leq \phi < \pi.

Svar. $4\pi a^{6}/5$